第二章 逻辑代数基础主要内容
⒈ 基本逻辑运算
⒉ 逻辑代数的基本公式和规则
⒊ 逻辑函数的化简几个基本概念
⒈ 逻辑：
⒉ 逻辑学：
⒊ 逻辑代数：
⒋ 逻辑状态：
⒌ 逻辑变量：
⒍ 逻辑函数：
⒎ 逻辑电路：
指事物的规律性和因果关系。
研究思维的形式和规律的科学。
逻辑学中的数学分支。在电子领域用二值变量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。
完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、
美丑、真假、有无、高低、开关等。
代表逻辑状态的符号，取值 0 和 1。
输出是输入条件的函数，有一定的因果关系。
电路的输入和输出具有一定的逻辑关系。
§ 1 基本逻辑运算一、“与”运算（逻辑乘）
⒈ 定义,决定一个事情发生的多个条件都具备，事情就发生，这种逻辑关系叫,与,逻辑。
打开有两把锁的自行车。
打开有两个串联开关的灯。
例 1：
例 2：
例 3,楼道里自动感应灯。
打开有两个串联开关的灯。设开关为 A,B，合上为 1，
断开 为 0；灯为 F，灯亮为 1，灭为 0
⒉ 真值表 全部输入条件的 所有组合与输出的关系 。
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
真值表例 3：
+u A B
F
由“与”运算的真值表可知
“与”运算法则为：
0? 0 = 0 1? 0 = 0
0? 1 = 0 1? 1 = 1
有 0出
0
全 1为
1
⒊ 表达式逻辑代数中,与,逻辑关系用,与,运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符为,?” 或,?”。两变量的“与”运算可表示为：
F＝ A? B 或者 F=A?B
简写为,F＝ AB
读作,F等于 A与 B
二、“或”运算（逻辑加）
⒈ 定义,决定一个事情发生的多个条件中，有 一个或以上 的条件具备，事情就发生，这种逻辑关系叫,或,逻辑。
打开有两个并联开关的灯。例：
A
+u
B
F
⒉ 真值表打开有两个并联开关的灯。设开关为 A,B，合上为 1，
断开 为 0；灯为 F，灯亮为 1，灭为 0
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
真值表例：
由“或”运算的真值表可知
“或”运算法则为：
0＋ 0 = 0 1＋ 0 = 1
0＋ 1 = 1 1＋ 1 = 1
有 1出
1
全 0为
0
⒊ 表达式逻辑代数中,或,逻辑关系用,或,运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为
,＋,或,?,。两变量的,或,运算可表示为：
F＝ A＋ B 或者 F=A? B
读作,F 等于 A 或 B
三、“非”运算（逻辑非）
⒈ 定义,某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，
这种逻辑关系叫,非,逻辑。
如下电路中灯的亮灭。例：
+u
K F
⒉ 真值表打开上例电路中的灯。设开关为 k，合上为 1，断开为 0；
灯为 F，灯亮为 1，灭为 0
真值表例：
由“非”运算的真值表可知
“非”运算法则为：K F
0 1
1 0 01 =10 =
⒊ 表达式
“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“－” 或,?”，
“非”运算可表示为：
F=A 或 F=?A
读作,F等于 A非”,意思是若 A＝ 0,则 F为 1；
反之，若 A=1,则 F为 0。
§ 2 逻辑代数的基本公式和规则一、基本公式
⒈ 基本运算与 或
0? 0 ＝ 0 0＋ 0＝ 0
0? 1 ＝ 0 0＋ 1＝ 1
1? 0 ＝ 0 1＋ 0＝ 1
1? 1 ＝ 1 1＋ 1＝ 1
1 = 0
0 = 1
非数值与数值的关系
⒈ 基本运算（续）
0? A ＝ 0 0＋ A＝ A
1? A ＝ A 1＋ A＝ 1 变量与数值的关系
0－ 1律
A＝ AA? A ＝ A A＋ A＝ A A? A ＝ 0 A＋ A＝ 1 变量与变量的关系
⒉ 与普通代数相类似的公式
A( B ＋ C)＝ AB＋ AC,A＋ BC＝ (A＋ B)(A＋ C)
交换律 结合律分配律
A＋ B ＝ B＋ A
A＋ ( B ＋ C)＝ ( A＋ B )＋ C
重叠律对合律、
非非律
⒊ 逻辑代数的特有公式吸收律,A＋ A? B＝ A A? ( A +B)＝ A
A＋ A? B＝ A+B A? ( A +B)＝ A? B
摩根定理,A＋ B＝ A? B A? B ＝ A＋ B
包含律,A?B+A?C+BC＝ A?B+A?C
(A + B)?(A + C)?( B+C )= (A + B)?(A + C)
尾部变换,A? B ＝ A? A B
⒋ 两种常用的运算
⑴ 异或,A B＝ A? B＋ A? B
⑵ 同或,A ⊙ B＝ A? B＋ A? B
变量相异为 1,
反之为 0
变量相同为 1,
反之为 0A 0＝ A
A 1＝ A
A⊙ 0＝ A
A⊙ 1＝ A
A B＝ A ⊙ B
A⊙ B＝ A B
AB=AC B=C?
A+B=A+C B=C?
请注意与普通代数的区别！
⒌ 证明方法真值表法：检查等式两边函数的真值表是否相等。
代数法：应用已证明的公式、定理来推导。
例 1 证明 摩根定理,A＋ B＝ A? B A? B ＝ A＋ B
证,用真值表法证明。
A B AB
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
BA? A B BA?
同理可证 A＋ B ＝ A? B
例 2,证明 A B＝ A ⊙ B
A⊙ B＝ A B
1 + 0 ＝ 10 + 0 ＝ 011
0 + 0 ＝ 00 + 1 ＝ 101
0 + 0 ＝ 01 + 0 ＝ 110
0 + 1 ＝ 10 + 0 ＝ 000
A B＋ A BA B＋ A B
A⊙ BA BBA
证,用真值表法证明。
证毕
CAABBCCAAB?=
证明,
BCAACAAB
BCCAAB
)(=
推广之,
CAAB
BCCAAB
BCD (G+E)BCCAAB
BCD(G+E)CAAB
=
=
=
1
吸收吸收例 3：证明包含律
CAAB
BCAABCCAAB
=
=
二、基本规则
⒈ 反演规则
F＝ (A+B)?(C+D)
例 1,已知 F＝ AB＋ CD,根据反演规则可得到,
如果将逻辑函数 F中所有的,?,变成,+”；
,+”变成,?”；,0”变成,1”；,1”变成
,0”； 原变量变成反变量；反变量变成原变量；
所得到的新函数是原函数的反函数 。F
即,,?,,,+”,,0”,,1”,“原变量,,“反变量,
,+”,,?,,,1”,,0”,“反变量,,
“原变量,
使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。
例 2,已知 则),( EDCBAF=
)]([ EDCBAF=
EDCBAF
例 3,已知则 CBBCAABF=
)()()( CBCBABAF=
长非号不变与变或时要加括号
⒉ 对偶规则如果将逻辑函数 F中所有的,?”变成,+”；
,+”变成,?,；,0”变成,1”；,1”变成,0”；
则所得到的新逻辑函数是 F的对偶式 F'。 如果 F'是 F的对偶式，则 F也是 F' 的对偶式，即 F与 F'互为对偶式。
即,,?,,,+”,,0”,
,1”,“变量,
,+”,,?,,,1”,
,0”,不变例,
0= CBAF )1('= CBAF
求某一函数 F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。
推理：若两个逻辑函数 F和 G相等，则其对偶式 F’ 和 G’
也相等。
例,证明包含律,(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)? (A+C)
证,已知 AB ＋ A C＋ BC=AB＋ AC
等式两边求对偶,(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)? (A+C)
证毕
CAB)(?=?== CABABCBAABCBCAAB
例,如
CBACBCABA= )()()()(
则
f (A1,A2,…,An)＋ f (A1,A2,…,An)＝ 1
任何一个含有变量 A的逻辑等式，如果将所有出现 A的位置都代之以同一个逻辑函数 F，
则等式仍然成立。
例如,给定逻辑等式 A(B+C)=AB+AC,若用 D+EF代替 A,则该等式仍然成立，即：
(D+EF)(B+C)=(D+EF)B+(D+EF)C
由式 (A+A=1),故 同样有等式：
⒊ 代入规则
§ 3 逻辑函数的化简一,逻辑函数的表达形式函数表达式：
真值表：
卡诺图：
例,函数 F=AB + AC
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法 。
0 1
0 1
0 0
1 1
0 1
00
01
11
10
CAB
二,函数表达式
⒈ 基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分 5种一般形式。
例,CAABF?=
CAABCAAB?=?=
CABACBBACAAA
CABA
)()(
==
=
))(( CABACABA=?=
CABACABA== ))((
与或式与非－与非式与或非式或与式或非－或非式
⒉ 最小项表达式
⑴ 最小项及最小项表达式如果一个具有 n个变量的函数的“积”项包含全部 n个变量,每个变量都以 原变量 或 反变量 形式出现,且 仅 出现 一次,则这个“积”项被称为 最小项,也叫 标准积 。
假如一个函数完全由最小项的 和 组成,那么该函数表达式称为 最小项表达式 。
变量的各组取值
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
对应的最小项及其编号最小项 编 号
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
om
1m
2m
3m
4m
5m
6m
7m
例,三变量函数的最小项：
编号规则,原变量取 1,反变量取 0。
即 n个变量的所有最小项之和恒等于 1。
所以 1
12
0
=?
=
i
i
m
n
1),,,(),,,(,2121 =? nn AAAfAAAf因
=
=?
12
0
2121 ),,,(),,,(
n
i
inn mAAAfAAAf而
=m2+ m3+ m6+ m7
注意：变量的顺序,
A B CCABBCACBACBAF=),,(
最小项表达式
=? m(2,3,6,7)
A B CCABBCACBACBAF=),,(：例如
2）当 ji? 时，
0=? ji mm
。
⑵ 最小项的性质,
1）只有一组取值使 mi＝ 1。
3）全部最小项之和等于 1，即 ∑mi＝ 1。
1m0,1,1,66 ＝时，只有＝例,=== CBACABm
036 = BCACABmm ＝例：
1
m 710
==
ABCCABCBACBABCACBACBACBA
mm
＝
＋＋＋
例三变量最小项最小项的性质 (续 )
5）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填,1”） 。
4） n变量的最小项有 n个相邻项。
一对相邻项之 和 可以消去一个变量 。
相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现） 。
取反＝
取反＝
取反＝：项其邻项有
＝三变量最小项例
C;
B;
A; )3(
,
4
7
1
5
CBAm
CBAm
CBAm
CBAm
⑶ 最小项表达式的求法一般表达式,→ 除非号 → 去括号 → 补因子真值表
ABBACABF= )(:例
ABBACBA
ABBACABABBACAB
=
==
)()(
ABCBABCA=
CABABCCBABCA
CCABCBABCA
=
= )(
== )7,6,5,3(6753 mmmmm
除非号去括号补因子方法用真值表求 最小项表达式例,函数 F=AB + AC
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
1
1
1 其余补
0
0
0
0
0
=
=
)5,4,3,1(
5431
m
mmmmF
由一般表达式直接写出 最小项表达式例,函数 F=AB + AC
所以,F=∑m(1,3,4,5)
。和故含最小项即最小项编号为或可取项中
。和故含最小项即最小项编号为或可取项中分析
m m
,1
1
0
0:,10BCA
m m
,
1
0
0 1:,10C:
31
54
BA
⒊ 最大项表达式
⑴ 最大项及最大项表达式如果一个具有 n个变量的函数的“和”项包含全部 n个变量,每个变量都以 原变量 或 反变量 形式出现,且 仅 出现 一次,则这个“和”项被称为 最大项,也叫 标准和 。
假如一个函数完全由最大项的 积 组成,那么该函数表达式称为 最大项表达式 。
变量的各组取值
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
对应的最大项及其编号最大项 编 号
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
oM
1M
2M
3M
4M
5M
6M
7M
例,三变量函数的最大项：
编号规则,原变量取 0,反变量取 1。
所以与最小项类似，有 0
12
0
=?
=
i
i
M
n
0),,,(),,,( 2121 =? nn AAAfAAAf因
iinn MAAAfAAAf
n 12
02121
),,,(),,,(
=
=而注意：变量顺序,
))()()((),,( CBACBACBACBACBAF=
5410 MMMM=
例如：
)5,4,1,0(M?=最大项表达式,F
⑵ 最大项的性质,
1）只有一组取值使 Mi＝ 0。
3）全部最大项之积等于 0，即 ∏Mi＝ 0。
01,0,0,11 ＝时，只有＝例,MCBACBAM ===
1)()(41 = CBACBAMM ＝例：
2）当 ji? 时，
1=? ji MM
。
最大项的性质 (续 )
4） n变量的最大项有 n个相邻项。
一对相邻项之 积 可以消去一个变量 。
取反＋＋＝
取反＋＋＝
取反＋＋＝：项其邻项有
＋＋＝例三变量最大项
C; M
B; M
A; M )3(
M
3
0
6
2
CBA
CBA
CBA
CBA
5）当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填,0”）。
以最小项之 和 的形式表示的函数可以转换成最大项之 积 的形式，反之亦然。
A B CCABBCACBACBAF=),,(：例如
=? m(2,3,6,7)
F(A,B,C)=? m(0,1,4,5)
A B CCABBCACBAFF==
=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
)5,4,1,0(M?=
而,
所以,有 F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=∏ M(0,1,4,5)
F(A,B,C)=? m(0,1,4,5) )7,6,3,2(M?=同理举例说明,Mi 和 mi 的关系三、逻辑函数的化简同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。
化简的意义：电路简单使用已有器件化简的方法：代数化简法（公式法）
卡诺图化简法列表化简法该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。 有时很难判定结果是否为最简。
⒈ 代数化简法
1） 表达式中 "与项 "的个数最少；
2） 在满足 1）的前提下,每个 "与项 "中的变量个数最少。
CDDACA B CCAF=简化例：
)()( DDACBCCAF=
)()( DACBCA=
CDACABCA=
CDABCCA= )(
CDACDB)A(?== 1
BABAA?=?
解：
函数表达式一般化简成 与或式,其最简应满足的两个条件：
DBDBCBCBCAABF=简化例：
)( GFAD EDBDBCBCBCBAF=解：
)( GFA D E
)( GFA D EDBDBCBCBA=
DBDBCBCBA=
)()( CCDBDBCBDDCBA=
DCBDBCDBCBCDBDCBA=
CBDBDCA=
BABAA?=?
例：
CBBCBAABF=
)( CBBCBAAB= ）（
反演
CBBCAA B C
CBACBAAB
=
被吸收被吸收
CBBBCAAB= )(
CBCAAB=
CBAABC
CCBAAB
=
)(
)(
配项
⒉ 卡诺图化简法将 n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是 n变量的 卡诺图 。
卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。
⑴ 变量卡诺图二变量卡诺图（ A,B）
mo m2
m1 m3
0 1
0
1
A
B
A
B 0 1
0
1
BA BA
BA AB
B
B
A A
mo m1
m2 m3
0 1
0
1
B
A BA 0 1
0
1
BA
BA
BA
AB
B B
A
A
mo m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
00 01 11 10
0
1
BCA
三变量卡诺图
mo m1
m2 m3
m6 m7
m4 m5
0 1
00
01
11
10
CAB
00 01 11 10
0
1
BCA
CBA CBA
CABCBA
CBA BCA
ABCCBA
A
A
C C
B B
C
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
DCBA
A
C
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
ABCD
CDBA
DCBA
DCBA
DABC
DCBA
D
B
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
四变量卡诺图五变量卡诺图
000 001 011 010
00
01
11
10
CDE
AB 110 111 101 100
2021232218191716
2829313026272524
12131514101198
45762310
对称轴
n≥5 变量的卡诺图，可由 n－ 1变量卡诺图在需要增加变量的方向采用镜像变换而生成。
说明：
⑴ 2个或以上变量，按循环码规则排列；
⑵ 每个小方格对应一个最小项；
⑶ 相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互为反变量；
⑷具有逻辑相邻性的方格有：
相接 —— 几何相邻的方格；
相对 —— 上下两边、左右两边的方格；
相重 —— 多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。
逻辑相邻的最小项可以消去互补变量三变量卡诺图逻辑相邻举例
00 01 11 10
0
1
B CA
CBA CBA
CABCBA
CBA BCA
ABCCBA
相接相对00 01 11 10
0
1
B CA
CBA CBA
CABCBA
CBA BCA
ABCCBA
四变量卡诺图逻辑相邻举例相接相对相对
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
ABCD
CDBA
DCBA
DCBA
DABC
DCBA
五变量卡诺图逻辑相邻举例
000 001 011 010
00
01
11
10
CDE
AB 110 111 101 100
2021232218191716
2829313026272524
12131514101198
45762310
相重对称轴
⑵ 函数卡诺图用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。
方法真值表 → 填卡诺图表达式 →
一般与或式 → 填卡诺图化成最小项表达式 → 填卡诺图真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。
由真值表填卡诺图
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
mo m1
m2 m3
m6 m7
m4 m5
0 1
00
01
11
10
CAB 0 1
00
01
11
10
CAB
对应最小项填 1其余补 0
0 1 1 0
1 1 0 0
00 01 11 10
0
1
BCA
mo m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
1
1
1 1
0
0
0 0
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
ACABDCBAF=
A B CDDA B CCDBADCBA
DCABA B CDDCBADCBA
=
=
=
)15,14,13,11,10,5,4(
15141110131545
m
mmmmmmmm
1 1
1 1 1
1 1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
由表达式 → 最小项表达式 → 填卡诺图举例由一般与或式 填卡诺图示例,三变量
CAABF?=
1 1
1 1
00 01 11 10
0
1
BCA00 01 11 10
0
1
BCA
1 1
1 1
示例,四变量
DCBCDBADBBDF=
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1
1
1
1
1
1 1
1
1
⑶ 函数的卡诺图化简方法,1）填写函数卡诺图；
2）合并最小项，对邻项方格画卡诺圈（含 2n方格）；
3）消去互补变量，直接写出最简与或式。
57
23
m m
C)(CCC
m m
)(
,
ABBABAAB
ABBABAAB
=?=?
=?=?
三变量二变量例：
消去互补变量提出公因子相邻最小项依据画圈原则：
圈尽量大 → 消去的变量多圈尽量少 → 结果乘积项少要有新成份 → 没有冗余项使用方法,圈 1 → 得到 F 原函数圈 0 → 得到 F 反函数画的圈不同，结果的表达式形式可能不同，但肯定是最简的结果。
圈 1个格 → 消 0个变量圈 2 → 1
圈 4 → 2
圈 8 → 3
…………
0 1
0
1
A
B
1 1
0 1
0
1
A
B
1
1
0 1
0
1
A
B
1 1
1
二变量卡诺图的典型合并情况
00 01 11 10
0
1
BC
A
1
1
1
1
BC
00 01 11 10
0
1
A
1 1
1 1
1 1 1 1
0
1
BCA 00 01 11 10
三变量卡诺图的典型合并情况
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1 1
1
1 1
11
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1 1
1 1
1 1
11
00
01
11
10
00 01 11 10CDAB
1 1
1 1
11
1 1
1 1
四变量卡诺图的典型合并情况
AB
CD00 01 11 10
00
01
0 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
1 0 0 0
11
10
不是矩形无效圈示例 1
无效圈示例 2
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
11
10
1
没有新变量,
无效圈,
A
BC00 01 11 10
0
1
0 0 1 0
0 0 1 1
AB
BC
F=AB+BC
例 1：卡诺图化简
F(A,B,C,D)=?(0,2,3,5,6,8,9,10,11,
12,13,14,15)
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
11
10 A
DC
CB
DB
DCB
DCBDBCBDCAF=
例 2：化简
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1 1 1
1 1 1 1
1 0 0 1
1 1 1 1
11
10
ABD
ABDF =
例 3：化简
F(A,B,C,D)=?m(0,5,7,9,10,12,13,14,15)
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
1
1
1 1
111
解：
1
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
1
1 1
111
DACDCAABBDDCBADCBAF== ),,,(
例 4：用卡诺图化简逻辑函数
CD00 01 11 10
00
01
11
10
AB
1
1
1
1
11
11 1
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
11
1 1
DBBACADCBAF CC ),,,(==
DBACBACADCBAF ),,,(==或不同的圈法，得到不同的最简结果
F(A,B,C,D)=?m(2,3,8,9,10,12,13)
例 5：用卡诺图化简逻辑涵数
)15,14,13,12,11,7,6,4,3(),,,( MDCBAF?=解：
15141312117643 MMMMMMMMM=
15141312117643 mmmmmmmmm=
)10,9,8,5,2,1,0(m?=
ii
ii
Mm
mM
=
=
最小项互补即编号互为补充例 6,用卡诺图把逻辑函数
F(A,B,C,D)=? M( 3,4,6,7,11,12,13,14,15)
化简成最简 "或与 "表达式。
DBCDABDCBAF=),,,(
DBABCDDCBAF=),,,(
))()(( DBBADC=
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
0
11
00
11
10
00
0
0
0
1 原函数为 0时,
反函数为 1.
此处圈 0,应理解为对反函数是圈 1.
F(A,B,C,D)=? M( 3,4,6,7,11,12,13,14,15)
⑴ 包含无关最小项的逻辑函数的化简无关最小项,一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而 不会再现,或者虽然每种输入取值组合都可能出现,但此时函数取值为 1还是为 0
无关紧要,那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项 。 无关最小项用,d”或者,×,表示 。
⒊ 逻辑函数化简中两个实际问题的考虑无关最小项可以随意加到函数表达式中，或不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。
其值可以取 1，也可以取 0。
无关最小项举例例 1,十字路口红绿灯,设控制信号 G=1 → 绿灯亮 ;
控制信号 R=1 → 红灯亮 ;
则 GR可以为 GR=00,01,10，但 GR ≠ 11。
例 2,电动机正反转控制,设控制信号 F=1 → 正传 ;
控制信号 R=1 → 反转 ;
则 FR可以为 FR=00,01,10，但 FR ≠ 11。
例 3,8421BCD码中，从 1010 ～ 1111的六种编码不允许出现，可视为 无关最小项。
A B C D F
0 0 0 0 d
0 0 0 1 d
0 0 1 0 d
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 d
1 1 1 0 d
1 1 1 1 d
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1
1
1
1
1
),,,( DCBAF
CBACDBDCBCBA=
解,1)不考虑无关最小项,
例 1,给定某电路的逻辑函数真值表如下，求 F的最简 "与或 "式。
CBCBDCBAF?=),,,(
A B C D F
0 0 0 0 d
0 0 0 1 d
0 0 1 0 d
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 d
1 1 1 0 d
1 1 1 1 d
2)考虑无关最小项：
CBACDBDCBCBAF=
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1
1
1
1
1
d d
d d d
d
这 2个 d看作,1”，
其余 d看作
,0”
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。
例 2：已知真值表如图，用卡诺图化简。
A
BC00 01 11 10
0
1
0 0 0 0
1 φ 1 1
化简时可以将无所谓状态当作 1或 0，
目的是得到最简结果。
认为是 1
A
F=A
对于多输出逻辑函数，如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，通常并不能保证整个电路最简，
因为各个输出函数之间往往存在可供共享的部分。
多输出逻辑函数化简的标准：
2） 在满足上述条件的前提下，各不同 "与项 "中所含的变量总数最少。
1） 所有逻辑表达式包含的不同 "与项 "
总数最小；
⑵ 多输出逻辑函数的化简例,多输出函数,
对应的卡诺图为
1
00 01 11 10
0
1
AB
C
1
1
F1
1
00 01 11 10
0
1
AB
C
1
1
F2
CABACBAF?=),,(1
BCABCBAF?=),,(2
F1,F2共含 4个不同的与项。
从多输出函数化简的观点来看，它们不是最佳的，应该是,CABBACBAF?=),,(1
CABBCCBAF?=),,(2
多输出逻辑函数的化简 考试不要求对应的卡诺图为：
1
00 01 11 10
0
1
AB
C
1
1
F1
1
11
00 01 11 10
0
1
AB
C
F2
F1,F2共含 3个不同的与项，其中 ABC 为共享部分。
本章要求
熟练掌握逻辑代数的基本公式和规则。
熟练掌握逻辑函数的公式法化简和卡诺图化简方法。
作业,2.3(3,7)
2.4(1,4,7,10)
2.5(1,4)
2.10(1,2,3,4,5,6)
本章结束
⒈ 基本逻辑运算
⒉ 逻辑代数的基本公式和规则
⒊ 逻辑函数的化简几个基本概念
⒈ 逻辑：
⒉ 逻辑学：
⒊ 逻辑代数：
⒋ 逻辑状态：
⒌ 逻辑变量：
⒍ 逻辑函数：
⒎ 逻辑电路：
指事物的规律性和因果关系。
研究思维的形式和规律的科学。
逻辑学中的数学分支。在电子领域用二值变量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。
完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、
美丑、真假、有无、高低、开关等。
代表逻辑状态的符号，取值 0 和 1。
输出是输入条件的函数，有一定的因果关系。
电路的输入和输出具有一定的逻辑关系。
§ 1 基本逻辑运算一、“与”运算（逻辑乘）
⒈ 定义,决定一个事情发生的多个条件都具备，事情就发生，这种逻辑关系叫,与,逻辑。
打开有两把锁的自行车。
打开有两个串联开关的灯。
例 1：
例 2：
例 3,楼道里自动感应灯。
打开有两个串联开关的灯。设开关为 A,B，合上为 1，
断开 为 0；灯为 F，灯亮为 1，灭为 0
⒉ 真值表 全部输入条件的 所有组合与输出的关系 。
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
真值表例 3：
+u A B
F
由“与”运算的真值表可知
“与”运算法则为：
0? 0 = 0 1? 0 = 0
0? 1 = 0 1? 1 = 1
有 0出
0
全 1为
1
⒊ 表达式逻辑代数中,与,逻辑关系用,与,运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符为,?” 或,?”。两变量的“与”运算可表示为：
F＝ A? B 或者 F=A?B
简写为,F＝ AB
读作,F等于 A与 B
二、“或”运算（逻辑加）
⒈ 定义,决定一个事情发生的多个条件中，有 一个或以上 的条件具备，事情就发生，这种逻辑关系叫,或,逻辑。
打开有两个并联开关的灯。例：
A
+u
B
F
⒉ 真值表打开有两个并联开关的灯。设开关为 A,B，合上为 1，
断开 为 0；灯为 F，灯亮为 1，灭为 0
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
真值表例：
由“或”运算的真值表可知
“或”运算法则为：
0＋ 0 = 0 1＋ 0 = 1
0＋ 1 = 1 1＋ 1 = 1
有 1出
1
全 0为
0
⒊ 表达式逻辑代数中,或,逻辑关系用,或,运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为
,＋,或,?,。两变量的,或,运算可表示为：
F＝ A＋ B 或者 F=A? B
读作,F 等于 A 或 B
三、“非”运算（逻辑非）
⒈ 定义,某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，
这种逻辑关系叫,非,逻辑。
如下电路中灯的亮灭。例：
+u
K F
⒉ 真值表打开上例电路中的灯。设开关为 k，合上为 1，断开为 0；
灯为 F，灯亮为 1，灭为 0
真值表例：
由“非”运算的真值表可知
“非”运算法则为：K F
0 1
1 0 01 =10 =
⒊ 表达式
“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“－” 或,?”，
“非”运算可表示为：
F=A 或 F=?A
读作,F等于 A非”,意思是若 A＝ 0,则 F为 1；
反之，若 A=1,则 F为 0。
§ 2 逻辑代数的基本公式和规则一、基本公式
⒈ 基本运算与 或
0? 0 ＝ 0 0＋ 0＝ 0
0? 1 ＝ 0 0＋ 1＝ 1
1? 0 ＝ 0 1＋ 0＝ 1
1? 1 ＝ 1 1＋ 1＝ 1
1 = 0
0 = 1
非数值与数值的关系
⒈ 基本运算（续）
0? A ＝ 0 0＋ A＝ A
1? A ＝ A 1＋ A＝ 1 变量与数值的关系
0－ 1律
A＝ AA? A ＝ A A＋ A＝ A A? A ＝ 0 A＋ A＝ 1 变量与变量的关系
⒉ 与普通代数相类似的公式
A( B ＋ C)＝ AB＋ AC,A＋ BC＝ (A＋ B)(A＋ C)
交换律 结合律分配律
A＋ B ＝ B＋ A
A＋ ( B ＋ C)＝ ( A＋ B )＋ C
重叠律对合律、
非非律
⒊ 逻辑代数的特有公式吸收律,A＋ A? B＝ A A? ( A +B)＝ A
A＋ A? B＝ A+B A? ( A +B)＝ A? B
摩根定理,A＋ B＝ A? B A? B ＝ A＋ B
包含律,A?B+A?C+BC＝ A?B+A?C
(A + B)?(A + C)?( B+C )= (A + B)?(A + C)
尾部变换,A? B ＝ A? A B
⒋ 两种常用的运算
⑴ 异或,A B＝ A? B＋ A? B
⑵ 同或,A ⊙ B＝ A? B＋ A? B
变量相异为 1,
反之为 0
变量相同为 1,
反之为 0A 0＝ A
A 1＝ A
A⊙ 0＝ A
A⊙ 1＝ A
A B＝ A ⊙ B
A⊙ B＝ A B
AB=AC B=C?
A+B=A+C B=C?
请注意与普通代数的区别！
⒌ 证明方法真值表法：检查等式两边函数的真值表是否相等。
代数法：应用已证明的公式、定理来推导。
例 1 证明 摩根定理,A＋ B＝ A? B A? B ＝ A＋ B
证,用真值表法证明。
A B AB
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
BA? A B BA?
同理可证 A＋ B ＝ A? B
例 2,证明 A B＝ A ⊙ B
A⊙ B＝ A B
1 + 0 ＝ 10 + 0 ＝ 011
0 + 0 ＝ 00 + 1 ＝ 101
0 + 0 ＝ 01 + 0 ＝ 110
0 + 1 ＝ 10 + 0 ＝ 000
A B＋ A BA B＋ A B
A⊙ BA BBA
证,用真值表法证明。
证毕
CAABBCCAAB?=
证明,
BCAACAAB
BCCAAB
)(=
推广之,
CAAB
BCCAAB
BCD (G+E)BCCAAB
BCD(G+E)CAAB
=
=
=
1
吸收吸收例 3：证明包含律
CAAB
BCAABCCAAB
=
=
二、基本规则
⒈ 反演规则
F＝ (A+B)?(C+D)
例 1,已知 F＝ AB＋ CD,根据反演规则可得到,
如果将逻辑函数 F中所有的,?,变成,+”；
,+”变成,?”；,0”变成,1”；,1”变成
,0”； 原变量变成反变量；反变量变成原变量；
所得到的新函数是原函数的反函数 。F
即,,?,,,+”,,0”,,1”,“原变量,,“反变量,
,+”,,?,,,1”,,0”,“反变量,,
“原变量,
使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。
例 2,已知 则),( EDCBAF=
)]([ EDCBAF=
EDCBAF
例 3,已知则 CBBCAABF=
)()()( CBCBABAF=
长非号不变与变或时要加括号
⒉ 对偶规则如果将逻辑函数 F中所有的,?”变成,+”；
,+”变成,?,；,0”变成,1”；,1”变成,0”；
则所得到的新逻辑函数是 F的对偶式 F'。 如果 F'是 F的对偶式，则 F也是 F' 的对偶式，即 F与 F'互为对偶式。
即,,?,,,+”,,0”,
,1”,“变量,
,+”,,?,,,1”,
,0”,不变例,
0= CBAF )1('= CBAF
求某一函数 F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。
推理：若两个逻辑函数 F和 G相等，则其对偶式 F’ 和 G’
也相等。
例,证明包含律,(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)? (A+C)
证,已知 AB ＋ A C＋ BC=AB＋ AC
等式两边求对偶,(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)? (A+C)
证毕
CAB)(?=?== CABABCBAABCBCAAB
例,如
CBACBCABA= )()()()(
则
f (A1,A2,…,An)＋ f (A1,A2,…,An)＝ 1
任何一个含有变量 A的逻辑等式，如果将所有出现 A的位置都代之以同一个逻辑函数 F，
则等式仍然成立。
例如,给定逻辑等式 A(B+C)=AB+AC,若用 D+EF代替 A,则该等式仍然成立，即：
(D+EF)(B+C)=(D+EF)B+(D+EF)C
由式 (A+A=1),故 同样有等式：
⒊ 代入规则
§ 3 逻辑函数的化简一,逻辑函数的表达形式函数表达式：
真值表：
卡诺图：
例,函数 F=AB + AC
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法 。
0 1
0 1
0 0
1 1
0 1
00
01
11
10
CAB
二,函数表达式
⒈ 基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分 5种一般形式。
例,CAABF?=
CAABCAAB?=?=
CABACBBACAAA
CABA
)()(
==
=
))(( CABACABA=?=
CABACABA== ))((
与或式与非－与非式与或非式或与式或非－或非式
⒉ 最小项表达式
⑴ 最小项及最小项表达式如果一个具有 n个变量的函数的“积”项包含全部 n个变量,每个变量都以 原变量 或 反变量 形式出现,且 仅 出现 一次,则这个“积”项被称为 最小项,也叫 标准积 。
假如一个函数完全由最小项的 和 组成,那么该函数表达式称为 最小项表达式 。
变量的各组取值
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
对应的最小项及其编号最小项 编 号
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
om
1m
2m
3m
4m
5m
6m
7m
例,三变量函数的最小项：
编号规则,原变量取 1,反变量取 0。
即 n个变量的所有最小项之和恒等于 1。
所以 1
12
0
=?
=
i
i
m
n
1),,,(),,,(,2121 =? nn AAAfAAAf因
=
=?
12
0
2121 ),,,(),,,(
n
i
inn mAAAfAAAf而
=m2+ m3+ m6+ m7
注意：变量的顺序,
A B CCABBCACBACBAF=),,(
最小项表达式
=? m(2,3,6,7)
A B CCABBCACBACBAF=),,(：例如
2）当 ji? 时，
0=? ji mm
。
⑵ 最小项的性质,
1）只有一组取值使 mi＝ 1。
3）全部最小项之和等于 1，即 ∑mi＝ 1。
1m0,1,1,66 ＝时，只有＝例,=== CBACABm
036 = BCACABmm ＝例：
1
m 710
==
ABCCABCBACBABCACBACBACBA
mm
＝
＋＋＋
例三变量最小项最小项的性质 (续 )
5）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填,1”） 。
4） n变量的最小项有 n个相邻项。
一对相邻项之 和 可以消去一个变量 。
相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现） 。
取反＝
取反＝
取反＝：项其邻项有
＝三变量最小项例
C;
B;
A; )3(
,
4
7
1
5
CBAm
CBAm
CBAm
CBAm
⑶ 最小项表达式的求法一般表达式,→ 除非号 → 去括号 → 补因子真值表
ABBACABF= )(:例
ABBACBA
ABBACABABBACAB
=
==
)()(
ABCBABCA=
CABABCCBABCA
CCABCBABCA
=
= )(
== )7,6,5,3(6753 mmmmm
除非号去括号补因子方法用真值表求 最小项表达式例,函数 F=AB + AC
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
1
1
1 其余补
0
0
0
0
0
=
=
)5,4,3,1(
5431
m
mmmmF
由一般表达式直接写出 最小项表达式例,函数 F=AB + AC
所以,F=∑m(1,3,4,5)
。和故含最小项即最小项编号为或可取项中
。和故含最小项即最小项编号为或可取项中分析
m m
,1
1
0
0:,10BCA
m m
,
1
0
0 1:,10C:
31
54
BA
⒊ 最大项表达式
⑴ 最大项及最大项表达式如果一个具有 n个变量的函数的“和”项包含全部 n个变量,每个变量都以 原变量 或 反变量 形式出现,且 仅 出现 一次,则这个“和”项被称为 最大项,也叫 标准和 。
假如一个函数完全由最大项的 积 组成,那么该函数表达式称为 最大项表达式 。
变量的各组取值
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
对应的最大项及其编号最大项 编 号
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
oM
1M
2M
3M
4M
5M
6M
7M
例,三变量函数的最大项：
编号规则,原变量取 0,反变量取 1。
所以与最小项类似，有 0
12
0
=?
=
i
i
M
n
0),,,(),,,( 2121 =? nn AAAfAAAf因
iinn MAAAfAAAf
n 12
02121
),,,(),,,(
=
=而注意：变量顺序,
))()()((),,( CBACBACBACBACBAF=
5410 MMMM=
例如：
)5,4,1,0(M?=最大项表达式,F
⑵ 最大项的性质,
1）只有一组取值使 Mi＝ 0。
3）全部最大项之积等于 0，即 ∏Mi＝ 0。
01,0,0,11 ＝时，只有＝例,MCBACBAM ===
1)()(41 = CBACBAMM ＝例：
2）当 ji? 时，
1=? ji MM
。
最大项的性质 (续 )
4） n变量的最大项有 n个相邻项。
一对相邻项之 积 可以消去一个变量 。
取反＋＋＝
取反＋＋＝
取反＋＋＝：项其邻项有
＋＋＝例三变量最大项
C; M
B; M
A; M )3(
M
3
0
6
2
CBA
CBA
CBA
CBA
5）当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填,0”）。
以最小项之 和 的形式表示的函数可以转换成最大项之 积 的形式，反之亦然。
A B CCABBCACBACBAF=),,(：例如
=? m(2,3,6,7)
F(A,B,C)=? m(0,1,4,5)
A B CCABBCACBAFF==
=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
)5,4,1,0(M?=
而,
所以,有 F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=∏ M(0,1,4,5)
F(A,B,C)=? m(0,1,4,5) )7,6,3,2(M?=同理举例说明,Mi 和 mi 的关系三、逻辑函数的化简同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。
化简的意义：电路简单使用已有器件化简的方法：代数化简法（公式法）
卡诺图化简法列表化简法该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。 有时很难判定结果是否为最简。
⒈ 代数化简法
1） 表达式中 "与项 "的个数最少；
2） 在满足 1）的前提下,每个 "与项 "中的变量个数最少。
CDDACA B CCAF=简化例：
)()( DDACBCCAF=
)()( DACBCA=
CDACABCA=
CDABCCA= )(
CDACDB)A(?== 1
BABAA?=?
解：
函数表达式一般化简成 与或式,其最简应满足的两个条件：
DBDBCBCBCAABF=简化例：
)( GFAD EDBDBCBCBCBAF=解：
)( GFA D E
)( GFA D EDBDBCBCBA=
DBDBCBCBA=
)()( CCDBDBCBDDCBA=
DCBDBCDBCBCDBDCBA=
CBDBDCA=
BABAA?=?
例：
CBBCBAABF=
)( CBBCBAAB= ）（
反演
CBBCAA B C
CBACBAAB
=
被吸收被吸收
CBBBCAAB= )(
CBCAAB=
CBAABC
CCBAAB
=
)(
)(
配项
⒉ 卡诺图化简法将 n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是 n变量的 卡诺图 。
卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。
⑴ 变量卡诺图二变量卡诺图（ A,B）
mo m2
m1 m3
0 1
0
1
A
B
A
B 0 1
0
1
BA BA
BA AB
B
B
A A
mo m1
m2 m3
0 1
0
1
B
A BA 0 1
0
1
BA
BA
BA
AB
B B
A
A
mo m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
00 01 11 10
0
1
BCA
三变量卡诺图
mo m1
m2 m3
m6 m7
m4 m5
0 1
00
01
11
10
CAB
00 01 11 10
0
1
BCA
CBA CBA
CABCBA
CBA BCA
ABCCBA
A
A
C C
B B
C
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
DCBA
A
C
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
ABCD
CDBA
DCBA
DCBA
DABC
DCBA
D
B
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
四变量卡诺图五变量卡诺图
000 001 011 010
00
01
11
10
CDE
AB 110 111 101 100
2021232218191716
2829313026272524
12131514101198
45762310
对称轴
n≥5 变量的卡诺图，可由 n－ 1变量卡诺图在需要增加变量的方向采用镜像变换而生成。
说明：
⑴ 2个或以上变量，按循环码规则排列；
⑵ 每个小方格对应一个最小项；
⑶ 相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互为反变量；
⑷具有逻辑相邻性的方格有：
相接 —— 几何相邻的方格；
相对 —— 上下两边、左右两边的方格；
相重 —— 多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。
逻辑相邻的最小项可以消去互补变量三变量卡诺图逻辑相邻举例
00 01 11 10
0
1
B CA
CBA CBA
CABCBA
CBA BCA
ABCCBA
相接相对00 01 11 10
0
1
B CA
CBA CBA
CABCBA
CBA BCA
ABCCBA
四变量卡诺图逻辑相邻举例相接相对相对
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
ABCD
CDBA
DCBA
DCBA
DABC
DCBA
五变量卡诺图逻辑相邻举例
000 001 011 010
00
01
11
10
CDE
AB 110 111 101 100
2021232218191716
2829313026272524
12131514101198
45762310
相重对称轴
⑵ 函数卡诺图用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。
方法真值表 → 填卡诺图表达式 →
一般与或式 → 填卡诺图化成最小项表达式 → 填卡诺图真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。
由真值表填卡诺图
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
mo m1
m2 m3
m6 m7
m4 m5
0 1
00
01
11
10
CAB 0 1
00
01
11
10
CAB
对应最小项填 1其余补 0
0 1 1 0
1 1 0 0
00 01 11 10
0
1
BCA
mo m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
1
1
1 1
0
0
0 0
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
ACABDCBAF=
A B CDDA B CCDBADCBA
DCABA B CDDCBADCBA
=
=
=
)15,14,13,11,10,5,4(
15141110131545
m
mmmmmmmm
1 1
1 1 1
1 1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
由表达式 → 最小项表达式 → 填卡诺图举例由一般与或式 填卡诺图示例,三变量
CAABF?=
1 1
1 1
00 01 11 10
0
1
BCA00 01 11 10
0
1
BCA
1 1
1 1
示例,四变量
DCBCDBADBBDF=
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1
1
1
1
1
1 1
1
1
⑶ 函数的卡诺图化简方法,1）填写函数卡诺图；
2）合并最小项，对邻项方格画卡诺圈（含 2n方格）；
3）消去互补变量，直接写出最简与或式。
57
23
m m
C)(CCC
m m
)(
,
ABBABAAB
ABBABAAB
=?=?
=?=?
三变量二变量例：
消去互补变量提出公因子相邻最小项依据画圈原则：
圈尽量大 → 消去的变量多圈尽量少 → 结果乘积项少要有新成份 → 没有冗余项使用方法,圈 1 → 得到 F 原函数圈 0 → 得到 F 反函数画的圈不同，结果的表达式形式可能不同，但肯定是最简的结果。
圈 1个格 → 消 0个变量圈 2 → 1
圈 4 → 2
圈 8 → 3
…………
0 1
0
1
A
B
1 1
0 1
0
1
A
B
1
1
0 1
0
1
A
B
1 1
1
二变量卡诺图的典型合并情况
00 01 11 10
0
1
BC
A
1
1
1
1
BC
00 01 11 10
0
1
A
1 1
1 1
1 1 1 1
0
1
BCA 00 01 11 10
三变量卡诺图的典型合并情况
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1 1
1
1 1
11
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1 1
1 1
1 1
11
00
01
11
10
00 01 11 10CDAB
1 1
1 1
11
1 1
1 1
四变量卡诺图的典型合并情况
AB
CD00 01 11 10
00
01
0 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
1 0 0 0
11
10
不是矩形无效圈示例 1
无效圈示例 2
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
11
10
1
没有新变量,
无效圈,
A
BC00 01 11 10
0
1
0 0 1 0
0 0 1 1
AB
BC
F=AB+BC
例 1：卡诺图化简
F(A,B,C,D)=?(0,2,3,5,6,8,9,10,11,
12,13,14,15)
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
11
10 A
DC
CB
DB
DCB
DCBDBCBDCAF=
例 2：化简
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1 1 1
1 1 1 1
1 0 0 1
1 1 1 1
11
10
ABD
ABDF =
例 3：化简
F(A,B,C,D)=?m(0,5,7,9,10,12,13,14,15)
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
1
1
1 1
111
解：
1
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
1
1 1
111
DACDCAABBDDCBADCBAF== ),,,(
例 4：用卡诺图化简逻辑函数
CD00 01 11 10
00
01
11
10
AB
1
1
1
1
11
11 1
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
11
1 1
DBBACADCBAF CC ),,,(==
DBACBACADCBAF ),,,(==或不同的圈法，得到不同的最简结果
F(A,B,C,D)=?m(2,3,8,9,10,12,13)
例 5：用卡诺图化简逻辑涵数
)15,14,13,12,11,7,6,4,3(),,,( MDCBAF?=解：
15141312117643 MMMMMMMMM=
15141312117643 mmmmmmmmm=
)10,9,8,5,2,1,0(m?=
ii
ii
Mm
mM
=
=
最小项互补即编号互为补充例 6,用卡诺图把逻辑函数
F(A,B,C,D)=? M( 3,4,6,7,11,12,13,14,15)
化简成最简 "或与 "表达式。
DBCDABDCBAF=),,,(
DBABCDDCBAF=),,,(
))()(( DBBADC=
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
0
11
00
11
10
00
0
0
0
1 原函数为 0时,
反函数为 1.
此处圈 0,应理解为对反函数是圈 1.
F(A,B,C,D)=? M( 3,4,6,7,11,12,13,14,15)
⑴ 包含无关最小项的逻辑函数的化简无关最小项,一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而 不会再现,或者虽然每种输入取值组合都可能出现,但此时函数取值为 1还是为 0
无关紧要,那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项 。 无关最小项用,d”或者,×,表示 。
⒊ 逻辑函数化简中两个实际问题的考虑无关最小项可以随意加到函数表达式中，或不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。
其值可以取 1，也可以取 0。
无关最小项举例例 1,十字路口红绿灯,设控制信号 G=1 → 绿灯亮 ;
控制信号 R=1 → 红灯亮 ;
则 GR可以为 GR=00,01,10，但 GR ≠ 11。
例 2,电动机正反转控制,设控制信号 F=1 → 正传 ;
控制信号 R=1 → 反转 ;
则 FR可以为 FR=00,01,10，但 FR ≠ 11。
例 3,8421BCD码中，从 1010 ～ 1111的六种编码不允许出现，可视为 无关最小项。
A B C D F
0 0 0 0 d
0 0 0 1 d
0 0 1 0 d
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 d
1 1 1 0 d
1 1 1 1 d
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1
1
1
1
1
),,,( DCBAF
CBACDBDCBCBA=
解,1)不考虑无关最小项,
例 1,给定某电路的逻辑函数真值表如下，求 F的最简 "与或 "式。
CBCBDCBAF?=),,,(
A B C D F
0 0 0 0 d
0 0 0 1 d
0 0 1 0 d
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 d
1 1 1 0 d
1 1 1 1 d
2)考虑无关最小项：
CBACDBDCBCBAF=
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
1
1
1
1
1
d d
d d d
d
这 2个 d看作,1”，
其余 d看作
,0”
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。
例 2：已知真值表如图，用卡诺图化简。
A
BC00 01 11 10
0
1
0 0 0 0
1 φ 1 1
化简时可以将无所谓状态当作 1或 0，
目的是得到最简结果。
认为是 1
A
F=A
对于多输出逻辑函数，如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，通常并不能保证整个电路最简，
因为各个输出函数之间往往存在可供共享的部分。
多输出逻辑函数化简的标准：
2） 在满足上述条件的前提下，各不同 "与项 "中所含的变量总数最少。
1） 所有逻辑表达式包含的不同 "与项 "
总数最小；
⑵ 多输出逻辑函数的化简例,多输出函数,
对应的卡诺图为
1
00 01 11 10
0
1
AB
C
1
1
F1
1
00 01 11 10
0
1
AB
C
1
1
F2
CABACBAF?=),,(1
BCABCBAF?=),,(2
F1,F2共含 4个不同的与项。
从多输出函数化简的观点来看，它们不是最佳的，应该是,CABBACBAF?=),,(1
CABBCCBAF?=),,(2
多输出逻辑函数的化简 考试不要求对应的卡诺图为：
1
00 01 11 10
0
1
AB
C
1
1
F1
1
11
00 01 11 10
0
1
AB
C
F2
F1,F2共含 3个不同的与项，其中 ABC 为共享部分。
本章要求
熟练掌握逻辑代数的基本公式和规则。
熟练掌握逻辑函数的公式法化简和卡诺图化简方法。
作业,2.3(3,7)
2.4(1,4,7,10)
2.5(1,4)
2.10(1,2,3,4,5,6)
本章结束
