1
第一章 逻辑代数基础
§ 1.2 逻辑代数中的三种基本运算
§ 1.4 逻辑函数及其表示方法
§ 1.3 逻辑代数的基本定律和规则
§ 1.1 概述
§ 1.5 逻辑函数的公式化简法
§ 1.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2
§ 1.1概述
1.1.1数字量与模拟量：
物理量?
数字量 物理量的变化在时间上和数量上都是离散的。
模拟量 物理量的变化在时间上或者数值上是连续的。
t?
u2
t?
u2
数字信号模拟信号
3
1.1.2 数制与码制：
一、数制,多位数码中每一位的构成方法以及低位向高位的进位规则。
(1),十进制,“逢十进一,
(512.34)D =5?102 +1?101 +2?100 +3?10-1 +4?10-2
(2),二进制,“逢二进一,
(01101)B=0? 24 +1?23 +1?22 +0?21 +1?20 =(19)D
(3),八进制,
(23)O = 2? 81 + 3?80 = (19)D
“逢八进一,
(4 ).十六进制,“逢十六进一,
(13)H = 1? 161 + 3?160 = (19)D
D=?ki? 16i
D=?ki? 10i
D=?ki? 8i
D=?ki? 2i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
10100
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0
十进制 二进制 八进制 十六进制
D B O H
00000
00001
00010
00011
00100
00101
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100
01101
01110
01111
10001
10000
10010
10011
A
B
C
D
E
F
1.常用数制：
4
2.数制转换：
(1)非十进制数 (B,O,H) 十进制数
(1101.01)B = 1? 23 +1?22 +0?21 +1?20 +0?2-1 +1?2-2 =(13.25)D
(2)十进制数 非十进制数 (B,O,H)
① 整数转换,(除法 )
(19)D = ( )B10011 (0.6875)D = ( )B
2 1 9 余 1 b0
2 9 余 1 b1
2 4 余 0 b2
2 2 余 0 b3
2 2 余 1 b4
0 高位低位
0.1011
0.6875?2= 1.375 1 b-1
0.375?2= 0.75 0 b-2
0.75?2= 1.5 1 b-3
0.5?2= 1.0 1 b-4
高位低位
(19.6875)D = (10011.1011)B
② 小数转换,(乘法 )
5
(3)二进制数 十六进制数
( 110 1101.1011 101 )B =（ )H0 0 6 D,B A
（ 7 A F,4 E )H = ( )B0111 1010 1111,0100 1110
(4)二进制数 八进制数
(5) 八进制数 十六进制数
(001 101 101.101 110 100 )B =（ )O1 5 5,5 6 4
（ 3 7 5,4 6 )O = (011 111 101.100 110 )B
二进制数
6
用四位二进制数表示 0~9十个数码，即为
BCD码 。四位二进制数最多可以有 16种不同组合，不同的组合便形成了一种编码。主要有：
8421码,5421码,2421码、余 3码等。
数字电路中编码的方式很多，常用的主要是二 —十进制码（ BCD码） (Binary-Coded-
Decimal)。
1,BCD码二、码制：
编码用二进制数表示数字或字符所遵循的规则。
7
0000
0001
0010
0011
01100111
1000
1001
10101011
11011110
1111
0101
1100
0100
0
1
2
3
67
8
9
1011
1314
15
5
12
4
0
1
2
3
5
78
9
6
4
0
1
2
3
5
6
78
9
4 0
34
5
6
78
2
9
1
0
1
2
3
67
8
54
9
二进制数 自然码 8421码 2421码 5421码 余三码
8
8 4 2 1 2 4 2 1 5 4 2 1 5 2 1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
权
0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
十进 8421码 2421码 5421码 5211码 余三码 余三循环码 BCD格雷码
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
制 数编码种类
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 0 0 0
有权码 无权码
9
8421 码代码从左到右每一位分别表示 8,4,2,1
余三码：把余三码看作 4位的二进制数
，则它的数值要比所表示的时进制数多三。
特点,0和 9,1和 8,2和 7,3和 6,4和 5的余三码互为反码。
2421与余 3码有相同的特点。
10
1,8421码是 BCD代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个四位二进制数，各位的权依次为 8,4,2,1。另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。
2,2421BCD码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一（如十进制数,5”可以编码为,1011”或,0101”）； 0－ 9,1
－ 8,2－ 7等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化；
3,余 3码被看成 4位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制数码多 3。如果将两个余 3码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多 6。因此，在用余 3码作十进制加法运算时，若两数之和为 10，正好等于二进制数的 16，于是从高位自动产生进位信号。
4,余 3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误；
11
二、格雷码（ Gray）
格雷码的特点是：
任意两个相邻码组之间只有一位码原不同（ 0和最大数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循环码；这种编码在形成和传输时不易出错；
最高位的 0和 1只改变一次。若以最高位的 0和 1的交界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一特点可以很容易地构成位数不同的格雷码；
格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以很容易地与二进制进行换算；
格雷码有许多形式，如余 3循环码等；
12
一 种 典 型 的 格 雷 码两位格雷码
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0
三位格雷码 四位格雷码
0 0
0 1
1 1
1 0
1 0
1 1
0 1
0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0
13
1.1.3 算术运算和逻辑运算一,算术运算：两个表示 数量 大小的二进制数码进行的 数值运算 （加、减、乘、除）
1001
+ 0101
1110
1001
- 0101
0100
1001
0101
1001
0000
1001
0000
0101101
）0101 1001
0101
1000
0101
0111
0101
0010
1.11 …
真值,数的符号用,+,,-,表示机器数：数的符号用符号位,0”,1,表示，
其余为数值位。
无符号数有符号数
14
例：已知 x1=+1101,x2= +0110,用原码,反码及补码计算 x=x1-x2。
负数：原码：符号位为 1,数值位表示数的大小。
三种常用机器数 — 原码、反码、补码正数：符号位为 0。 原码、反码、补码相同。
反码：符号位为 1,数值位按位取反。
补码：符号位为 1,数值位按位取反，末位加 1。
用原码：
x1?原 =01101
x2?原 =00110
0 1 1 0 1
- 0 0 1 1 0
0 0 1 1 1
x?原 =00111
真值 x=+0111
原码运算规则：
符号位仅表正负，不参与运算
15
二,逻辑运算,两个表示 不同逻辑状态 的二进制数码按照指定的某种 因果关系 进行的运算
（ 与算术运算有本质不同 ）
用反码,?x1?反 =01101
-x2?反 =11001
0 1 1 0 1
+ 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0
+ 1
0 0 1 1 1
x?反 =00111
真值 x=+0111
用补码,?x1?补 =01101
-x2?补 =11010
x?补 =00111
真值 x=+0111
0 1 1 0 1
+ 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1
丢掉反码运算规则：
1 符号位参与运算
2 [X+Y]反 =[X]反 +[Y]反
[X-Y]反 =[X]反 +[-Y]反
3符号位的进位加到末位 (循环进位 )
补码运算规则：
1 符号位参与运算
2 [X+Y]补 =[X]补 +[Y]补
[X-Y]补 =[X]补 +[-Y]补
3 符号位的进位 舍去
16
§ 1.2 逻辑代数中的三种基本运算
1.2.1 逻辑变量与逻辑函数：
F = f ( A,B,C,…)
1.2.2 基本逻辑运算：
⑴ 与 逻辑 A B Y0 0
0 11 0
1 1
0
00
1
A
B Y
Y = A BY?A B
与运算也叫逻辑乘，输入输出的关系为：
有 0出 0，全 1出 1
A
B
Y A
B Y
17
⑵ 或 逻辑 A B Y
0 00 1
1 01 1
0
11
1
≥1A
B Y
Y = A + B
Y?B
A
或运算也叫逻辑加，运算特点：
有 1出 1，全 0出 0
+AB Y AB Y
18
⑶ 非 逻辑
01
A Y
1
0
Y = A
1A Y
Y?A
非运算也就是取反，有 0为 1，有 1为 0
A Y A Y
19
1.2.3 常见复合逻辑运算：
非
⑴ 与非 逻辑
A B Y
0 00 1
1 01 1 1
1
1
0
A
B Y
Y = A B
A
B Y
A
B Y
⑵ 或非 逻辑
A B Y
0 00 1
1 01 1 0
1
0
0
≥1A
B Y
Y = A + B
+AB Y
A
B Y⑶ 异或 逻辑
A B Y
0 00 1
1 01 1 1
0
1
0
=1A
B Y
Y = A + B
Y = A B+A B
A
B
Y
A
B
Y
⑷ 同或 逻辑
A B Y
0 00 1
1 01 1 0
1
0
1
=A
B Y
A B+A BY =
Y = A B ⊙AB Y
A
B
Y
20
CDABY
Y
A
B
C
D
&
≥ 1
3.与或非：
“先进行与运算,再进行或非运算”
表达式：
逻辑符号：
异或：,A,B不相同,Y为 1； A,B相同,Y为 0”
同或：,A,B相同,Y 为 1； A,B不相同,Y为 0”
表达式,Y=A⊙ B
21
§ 1.3逻辑代数的基本定律和规则
1.3.1基本定律和恒等式：
定律名称 公式（恒等式）
0,1 律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0
互补 律 A + A = 1 A A = 0
交换 律结合 律分配 律吸收 律同一 律反演 律
A + B = B + A
A B = A + B
A (B C)= (A B) C
A B+A C=A (B+C) (A+B) (A+C)=A+BC
A+(B+C)=(A+B)+C
A + A = A
A + B = A B
A A = A
A + A B = A
A + AB = A+B
A (A+B)= A
A (A+B)= A B
常量与变量的关系与普通代数类似的规律逻辑代数的特殊规律其他恒等式,AB + AC + BC = AB + AC
A B = B A
22
A + B = A B A B = A + B
证明：
（ 1）用真值表证明
A B A + B A B A B A +B
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
（ 2）用恒等式证明
A + A B = A（ 1+B） =A
A (A+B)= AA + AB =A+ AB = A
A + AB = A+AB+AB =A +B（ A+A） = A + B
23
（ 3）用开关模型证明
A B
A + A B = A（ 1+B） =A
A A
A （ A + B） = A A+AB = A B?
B
A
A
A B
逻辑代数又称开关代数
24
1.3.2基本规则：
Y'=(A+B) (A+C 1)Y=A B+A (C+0)
Y=A B C Y '= A +B + C
(A+ B) (A+ C)
A B + A C = A (B + C)
A + B C=
对偶式
1.对偶规则：
+
0 1 对偶式
25
一,代入定理：
例 1：已知 Y=A(B+C)+CD,求解：
))(()( DCCBADCCBAY
DCBDACBCA
CBDACA
Y
例 2,CDCBAY 求 Y
CDCBACDCBAY )()(
CDCBA )(
26
2.反演规则：
+?
0 1
原变量 反变量反函数例,（ 1） 0DCBAF
1
1)DC()BA(F 1
注意括号注意括号
（ 2） EDCBAF
2
EDCBAF 2
非号不动
0DCBAF 1
27
用处,实现互补运算（求反运算）。
1.运算顺序：先括号? 再乘法?后加法。
2.不是一个变量上的非号不动。
注意,(变换时,原函数运算的先后顺序不变 )
3.代入规则：
任何一个含有 A的逻辑等式中，若将所有出现 A的位置都代之以一个逻辑函数式，
等式仍然成立。
例,A +A B = A
CD + CD (E+F) GH = CD
28
§ 1.4逻辑函数及其表示方法
A B
Y~ 220V
右图是一个控制楼梯照明灯的电路，
单刀双掷开关 A装在楼下,B装在楼上，这样在楼下开灯后，可在楼上关灯；同样，也可在楼上开灯，而在楼下关灯。
例：
A B Y
0 00 1
1 01 1 0
1
0
1
A B+A BY =
= A B =1AB Y
1.4.1常用的逻辑函数表示方法：
真值表、逻辑函数式、逻辑图、卡诺图
29
1.4.2各种表示方法间的相互转换：
例：表决逻辑
A B C Y
0 0 0
0 0 10 1 0
0 1 11 0 0
1 0 11 1 0
1 1 1
0
00
10
1
1 1
Y =ABC+ABC+ABC+ABC
① 真值表 逻辑式 ② 逻辑图 逻辑式
Y = AB +AB
≥1 Y
A
B
1
1
AB
AB
≥1
≥1
1
1
1
Y
A
B
C
Y =A+B A C + B C
30
1.4.3逻辑函数的两种标准形式：
⑴ 最小项和最大项：
① 最小项 F1 = f ( A,B)
F2 = f ( A,B,C,…)A B A B AB AB AB
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
性质,1对任一最小项,只有一组变量取值使之为 1.
2不同最小项为 1的变量取值不同。
3对任一组变量取值,任两个最小项乘积为 0.
4对任一组变量取值,全体最小项之和为 1。
ABC
A(B+C)ABC
ABAC
31
最小项编号
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
0
1
2
3
1 0 01 0 1
1 1 0
1 1 1
45
6
7
最小项 使最小项为 1的变量取值
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
对应的十进制数 编号
m0
m1
m2
m3m
4m
5m
6m
7
A B C = m5 A B C = m6
32
F1 = f ( A,B)
F2 = f ( A,B,C )
② 最大项
A+BC A+B+C A+B+C
A+B+C （ A+B） C
性质,1对任一最大项,只有一组变量取值使之为 0.
2不同最大项为 0的变量取值不同。
3对任一组变量取值,任两个最大项之和为 1.
4对任一组变量取值,全体最大项之积为 0 。
A+B A+B A+B A+B
33
最大项编号
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
0
1
2
3
1 0 01 0 1
1 1 0
1 1 1
45
6
7
最大项 使最大项为 0的变量取值
A+ B+ C
A+ B+ C
A+ B+ C
A+ B+ C
A+ B+ C
A +B+ C
A+ B+ C
A+ B+ C
对应的十进制数 编号
M0
M1
M2
M3
M4
M5M
6
M7
A+ B+ C = M5 A+ B+ C = M6
③ 最小项和最大项的关系：
非
A B C = m5
A+ B+ C = M5 M
i = mi
34
① 最小项表达式 ------标准与或式例 1,Y=A B A C =AB + AC=AB(C+C)+AC(B+B)
=ABC+ABC+ABC+ABC
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
0
1
2
3
1 0 01 0 1
1 1 0
1 1 1
45
6
7
最小项 使最小项为 1的变量取值
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
对应的十进制数 编号
m0
m1
m2
m3m
4m
5m
6m
7
= m7 + m6 + m3 + m1 =? mi ( i=1,3,6,7 )
⑵ 逻辑函数的两种标准形式：
Y=? mi
35
例 2,Y=A B A C =AB + AC=AB(C+C)+AC(B+B)
=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=? mi Y=? mk
k≠i Y=? mkk≠i
Y = Π = Πk≠i mk Mk
k≠i
② 最大项表达式 ------标准或与式 Y = Π Mk
= ΠMk(k=0,2,4,5)= M0 M2 M4 M5
=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)
= m7 + m6 + m3 + m1 =? mi (i= 1,3,6,7 )
36
练习
37
步骤一：
（ 1）
（ 2）
38
（ 3）
39
（ 4） 根据写出的各逻辑函数表达式，画出逻辑符号图
40
1,公式法 —布尔代数；
2,图形法 —卡诺图 (n? 4) 。
化简：两种方法
41
§ 1.5 逻辑函数的公式化简法 与转换一、公式化简法：
最简与或式,乘积项的 项数最少。每个乘积项中 变量个数最少。
1.并项法：
A(BC+BC)+A(BC+BC)
= ABC+ABC+ABC+ABC
= AB(C+C)+AB(C+C)
= AB + AB = A (B+B)
= A
A + A = 1
42
2,吸收法,A + AB = A A + AB = A+B
AC
AB+AC+BC= AB+（ A+B） C
例,ABCDE（ FG+H） +AC=
= AB+ABC
= AB+C
3,配项法,A + A= 1 A A = 0
AB+AC+BC =
= AB+AC
1 AB+AC+BC(A+A)
= AB+AC+ABC+ABC
= AB(1+C)+AC(1+B)
43
例,Y=AD+AD+AB+AC+BD+ABEF+BEF
=A+AC+BD+BEF
=A+C+BD+BEF
=A+AB +AC+BD+BEF
44
二、各种表达式的转换：
与非 ---与非
= AC+CD
或与非与或例 1,Y= AC+CD
= A C C D
= (A+C) (C+D)
与或或与或非 ---或非与 ---或非例 2,Y= AC+CD
= AC+CD+AD+CC
= A(C+D)+C(C+D)
= (A+C) (C+D)
= A+C + C+D
= AC+CD
45
三、逻辑函数转换为最简与非表达式：
与：
或：
与或：
或非：
AB = A B
A+B = A B
A+B = A B
AB+CD = AB CD
与或非,AB+CD = AB CD
异或,AB+AB = AB AB
AB+AB = A A+AB+AB+B B
=A(A+B)+B(A+B)
=AA B+BA B
= AA B BA B (只用 4个门）
(需用 5个门）
46
一、卡诺图化简的构成思路：
最小项 C D Y1 Y2 Y3 Y4 Y5
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
C D
C D
C D
C D
相邻
Y2= CD+CD=D
Y1= CD+CD=C(D+D)=C
Y3= CD+CD
C D
0 00 1
1 11 0
1
1
0
0
Y1
0
1
1
0
Y2
0
1
0
1
Y3
§ 1.6 逻辑函数的 卡诺图 化简法相邻最小项
Y4=CD+CD+CD
=CD+CD+CD+CD
=C(D+D)+D(C+C)
=C+D
Y4
011 1
00 01 11 10
C C
D DD
Y5 = 1
Y5
111 1
00 01 11 10
47
二、三变量卡诺图：
111 1 1 B7
001 1 0B6
111 0 1B5
001 0 0B4
010 1 13
00 0 1 02
110 1 01
100 0 00
Y2Y1BCD最小项编号
DB
B
B
B C
C
DC
C
D
D
D
C
C
DC
C
D
D
BC CD+BCD
BD(
Y1= +
=
=
D BCD+B
BD(
BD+BD=(
C+C)C+C)+
B+B)D=D
C+BDY2=B0110 0011
Y2 00 01 11 10C C
D D D
B
B
0 1 23
4 5 7 6
BCD
0110
0110
Y1 00 01 11 10
C C
D D D
B
B
0 1 3 2
4 5 7 6
BCD
0
1
48
Y1= B + D
Y2= C + B D
练习：
②
①
1111
1001
Y1 00 01 11 10
C C
D D D
B
B
0 1 3 2
4 5 7 6
1100
1110
Y2 C C
D D D
B
B
0 1 3 2
4 5 7 6
③
111
111
Y3 C
D
B
0 1 3 2
4 5 7 6
Y2= D + B C+B C
49
⑴ 画出相应的卡诺图并标出各变量管辖范围；
⑵把函数值填入卡诺图；
⑶找出并合并相邻最小项（ 画包围圈 ）；
⑷写出最简式（ 将每个包围圈的逻辑式相或 ）。
⑷ 有些方格（ 1）可重复利用。
卡诺图化简步骤：
合并原则：
1011
11 01
Y2
00 01 11 10
C C
D D D
B
B
0 1 23
4 5 7 6
BCD
⑴ 先画大圈,再画小圈,要求包完所有 1后圈的个数最少；
⑵ 不论大圈小圈，圈内部的,1”都是 2n个 (n=0,1,2…)；⑶ 每个包围圈都要有新的独立方格（ 1） ;
50
A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 0
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
三、四变量卡诺图：
逻辑相邻 (四个 )
循环邻接上下封闭
A BCD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
0000 0001 0011 0010
0100 0101 0111 0110
1100 1101 1111 1110
1000 1001 1011 1010
A
A
A
B
B
D DD
CC
51
A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 0
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
0 1 3
4 5 67
2
8 9 1011
12 13 15 141 1
1 1
1 1
1 1
Y = D
AB
CD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
Y
A
A
B
B
B
C C
D DD
52
AB
CD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
Y
A
A
B
B
B
C C
D DD
1 1 1 1
1
1
1 1
1 1 1 1
Y = B + CD + AD +AC
例：
53
Y1= CD + BD + ABCD
AB
CDY1
A
A
B
B
B
C C
D DD
1 1
1
1
1
1
1
AB
CDY2
A
B
C
D
1 1
1 1 1 1
1
AB
CDY3
A
B
C
D
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
AB
CDY4
A
B
C
D
1 1 1 1
1 1
1 1
1
Y2 = AB + ACD +BCD + ABD
Y3 = D + AB Y4 = AB + BD + ABD
54
四、具有 无关项 的逻辑函数的 化简：
约束,用来说明逻辑函数中，对输入变量取值所加的限制（ 定义域 问题）。
例,n个变量的 2n种组合中有一些变量取值不会出现
(或不允许出现 )，这些状态对应的 最小项,称为 约束项（任意项、无关项,无所谓状态）。
在真值表和卡诺图中，用,? 或?表示 无关项 ;
在逻辑式中,用?d 来表示 无关项之和。
(don’t care)
任意项,在输入变量某些取值下函数值是 1是 0均可，并不影响电路的功能，这些状态所对应的最小项称为 任意项 。
55
利用无关项进行化简用卡诺图法时，可以 利用无关项进行化简,逻辑函数的值 可以当,0”处理，也可以当,1”处理； 必要时当,1”
处理,这样可以使逻辑函数化得更简单
（包围圈可以尽量大）。
56
六个 约束项,m10,m11,m12,m13,m14,m15
二? 十进制编码
（ 8421 BCD)
例 1,四变量?A,B,C,D取：A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0?
11 1 0 1 1?
12 1 1 0 0?
13 1 1 0 1?
14 1 1 1 0?
15 1 1 1 1?
AB
CDY
A
A
B
B
B
C C
D DD
1 1
1
1
1
Y=BC+AD+BD+BCD
57
例 2：化简具有约束的逻辑函数,DCBAB C DADCBAY
给定 约束条件为：
0DCBADA B CA B C DDCBADCABDCBACDBA
解：
DADADACDCABDADBA
DCBADA BCDCABDCBA
DCBABC DACDBADCBA
DCBABC DADCBAY
ABCD
Y
A
A
B
B
B
C C
D DD
1
1
1
DADAY
58
五、逻辑函数式的化简：
例,Y1= (A+B+C)(A+B+C) =AB+AC+AB+BC +AC+BC
Y1 B B
C C C
A
A
ABC
1 1 1
1 11 Y
1=AB+AC+BC
Y2=ABCD+B+C+D+AC+A
=ABCD+BCD+AC+A
AB
CDY
A
A
B
B
B
C C
D DD
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1 1Y2= A + C
59
DB)D,C,B,A(F 1
练习,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
F1
60
（ 1） 可以取 F=0的项化简,
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
0
0
0
0
DB)D,C,B,A(F 1?
DB DB)D,C,B,A(F 1
卡诺图化简几点说明：
61
（ 2） 化简结果不唯一：
CBBACABA)C,B,A(F2
CBCABA)C,B,A(F2
A
BC00 01 11 10
1 1
1 1 1
1A
B
C
ABC00 01 11 10
1 1
1 1 1
1A
B
C
BACBCA)C,B,A(F2
项数,因子数对应相同。
化简结果不唯一
62
练习：（ 1） 判断是否最简：
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1 1
1
1 1 1
1
CA
BA
CB
AD
冗 余项
ADCBBACA)D,C,B,A(F 2
DCBAA B DDCBBA)D,C,B,A(F 2
63
（ 2）将下列具有约束项的逻辑函数化为最简与或式。
)14,11,8,3(d)15,9,7,5,1(m)D,C,B,A(F 1
)14,13,12,10,7,6,5,2(m)D,C,B,A(F 2
)11,9,8,3,1,0(d
)5,3,2,1(d)7(m)C,B,A(F 3
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
64
)14,11,8,3(d)15,9,7,5,1(m)D,C,B,A(F 1
B
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1
11
1
1
DA
CD
DB
DBCDDA)D,C,B,A(F 1
高位 低位
65
B
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
11
1
1
1
1
1
1
DA
DC
CA
CADADC)D,C,B,A(F 2
)14,13,12,10,7,6,5,2(m)D,C,B,A(F 2
)11,9,8,3,1,0(d
66
)5,3,2,1(d)7(m)C,B,A(F 3
C CF
3
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
高位 低位
67
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
BD
CBA
DCA
DCA
CBA
CBADCADCACBABD
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
每次勾圈时，应包含 尽量多的独立格。
68
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
DB
CAB
BCA
DCA
ACD
DCAA C DBCACABDB
CBADCADCACBABD
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
第一章 逻辑代数基础
§ 1.2 逻辑代数中的三种基本运算
§ 1.4 逻辑函数及其表示方法
§ 1.3 逻辑代数的基本定律和规则
§ 1.1 概述
§ 1.5 逻辑函数的公式化简法
§ 1.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2
§ 1.1概述
1.1.1数字量与模拟量：
物理量?
数字量 物理量的变化在时间上和数量上都是离散的。
模拟量 物理量的变化在时间上或者数值上是连续的。
t?
u2
t?
u2
数字信号模拟信号
3
1.1.2 数制与码制：
一、数制,多位数码中每一位的构成方法以及低位向高位的进位规则。
(1),十进制,“逢十进一,
(512.34)D =5?102 +1?101 +2?100 +3?10-1 +4?10-2
(2),二进制,“逢二进一,
(01101)B=0? 24 +1?23 +1?22 +0?21 +1?20 =(19)D
(3),八进制,
(23)O = 2? 81 + 3?80 = (19)D
“逢八进一,
(4 ).十六进制,“逢十六进一,
(13)H = 1? 161 + 3?160 = (19)D
D=?ki? 16i
D=?ki? 10i
D=?ki? 8i
D=?ki? 2i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
10100
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0
十进制 二进制 八进制 十六进制
D B O H
00000
00001
00010
00011
00100
00101
00110
00111
01000
01001
01010
01011
01100
01101
01110
01111
10001
10000
10010
10011
A
B
C
D
E
F
1.常用数制：
4
2.数制转换：
(1)非十进制数 (B,O,H) 十进制数
(1101.01)B = 1? 23 +1?22 +0?21 +1?20 +0?2-1 +1?2-2 =(13.25)D
(2)十进制数 非十进制数 (B,O,H)
① 整数转换,(除法 )
(19)D = ( )B10011 (0.6875)D = ( )B
2 1 9 余 1 b0
2 9 余 1 b1
2 4 余 0 b2
2 2 余 0 b3
2 2 余 1 b4
0 高位低位
0.1011
0.6875?2= 1.375 1 b-1
0.375?2= 0.75 0 b-2
0.75?2= 1.5 1 b-3
0.5?2= 1.0 1 b-4
高位低位
(19.6875)D = (10011.1011)B
② 小数转换,(乘法 )
5
(3)二进制数 十六进制数
( 110 1101.1011 101 )B =（ )H0 0 6 D,B A
（ 7 A F,4 E )H = ( )B0111 1010 1111,0100 1110
(4)二进制数 八进制数
(5) 八进制数 十六进制数
(001 101 101.101 110 100 )B =（ )O1 5 5,5 6 4
（ 3 7 5,4 6 )O = (011 111 101.100 110 )B
二进制数
6
用四位二进制数表示 0~9十个数码，即为
BCD码 。四位二进制数最多可以有 16种不同组合，不同的组合便形成了一种编码。主要有：
8421码,5421码,2421码、余 3码等。
数字电路中编码的方式很多，常用的主要是二 —十进制码（ BCD码） (Binary-Coded-
Decimal)。
1,BCD码二、码制：
编码用二进制数表示数字或字符所遵循的规则。
7
0000
0001
0010
0011
01100111
1000
1001
10101011
11011110
1111
0101
1100
0100
0
1
2
3
67
8
9
1011
1314
15
5
12
4
0
1
2
3
5
78
9
6
4
0
1
2
3
5
6
78
9
4 0
34
5
6
78
2
9
1
0
1
2
3
67
8
54
9
二进制数 自然码 8421码 2421码 5421码 余三码
8
8 4 2 1 2 4 2 1 5 4 2 1 5 2 1 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
权
0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
十进 8421码 2421码 5421码 5211码 余三码 余三循环码 BCD格雷码
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
制 数编码种类
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 0 0 0
有权码 无权码
9
8421 码代码从左到右每一位分别表示 8,4,2,1
余三码：把余三码看作 4位的二进制数
，则它的数值要比所表示的时进制数多三。
特点,0和 9,1和 8,2和 7,3和 6,4和 5的余三码互为反码。
2421与余 3码有相同的特点。
10
1,8421码是 BCD代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个四位二进制数，各位的权依次为 8,4,2,1。另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。
2,2421BCD码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一（如十进制数,5”可以编码为,1011”或,0101”）； 0－ 9,1
－ 8,2－ 7等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化；
3,余 3码被看成 4位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制数码多 3。如果将两个余 3码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多 6。因此，在用余 3码作十进制加法运算时，若两数之和为 10，正好等于二进制数的 16，于是从高位自动产生进位信号。
4,余 3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误；
11
二、格雷码（ Gray）
格雷码的特点是：
任意两个相邻码组之间只有一位码原不同（ 0和最大数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循环码；这种编码在形成和传输时不易出错；
最高位的 0和 1只改变一次。若以最高位的 0和 1的交界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一特点可以很容易地构成位数不同的格雷码；
格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以很容易地与二进制进行换算；
格雷码有许多形式，如余 3循环码等；
12
一 种 典 型 的 格 雷 码两位格雷码
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0
三位格雷码 四位格雷码
0 0
0 1
1 1
1 0
1 0
1 1
0 1
0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0
13
1.1.3 算术运算和逻辑运算一,算术运算：两个表示 数量 大小的二进制数码进行的 数值运算 （加、减、乘、除）
1001
+ 0101
1110
1001
- 0101
0100
1001
0101
1001
0000
1001
0000
0101101
）0101 1001
0101
1000
0101
0111
0101
0010
1.11 …
真值,数的符号用,+,,-,表示机器数：数的符号用符号位,0”,1,表示，
其余为数值位。
无符号数有符号数
14
例：已知 x1=+1101,x2= +0110,用原码,反码及补码计算 x=x1-x2。
负数：原码：符号位为 1,数值位表示数的大小。
三种常用机器数 — 原码、反码、补码正数：符号位为 0。 原码、反码、补码相同。
反码：符号位为 1,数值位按位取反。
补码：符号位为 1,数值位按位取反，末位加 1。
用原码：
x1?原 =01101
x2?原 =00110
0 1 1 0 1
- 0 0 1 1 0
0 0 1 1 1
x?原 =00111
真值 x=+0111
原码运算规则：
符号位仅表正负，不参与运算
15
二,逻辑运算,两个表示 不同逻辑状态 的二进制数码按照指定的某种 因果关系 进行的运算
（ 与算术运算有本质不同 ）
用反码,?x1?反 =01101
-x2?反 =11001
0 1 1 0 1
+ 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0
+ 1
0 0 1 1 1
x?反 =00111
真值 x=+0111
用补码,?x1?补 =01101
-x2?补 =11010
x?补 =00111
真值 x=+0111
0 1 1 0 1
+ 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1
丢掉反码运算规则：
1 符号位参与运算
2 [X+Y]反 =[X]反 +[Y]反
[X-Y]反 =[X]反 +[-Y]反
3符号位的进位加到末位 (循环进位 )
补码运算规则：
1 符号位参与运算
2 [X+Y]补 =[X]补 +[Y]补
[X-Y]补 =[X]补 +[-Y]补
3 符号位的进位 舍去
16
§ 1.2 逻辑代数中的三种基本运算
1.2.1 逻辑变量与逻辑函数：
F = f ( A,B,C,…)
1.2.2 基本逻辑运算：
⑴ 与 逻辑 A B Y0 0
0 11 0
1 1
0
00
1
A
B Y
Y = A BY?A B
与运算也叫逻辑乘，输入输出的关系为：
有 0出 0，全 1出 1
A
B
Y A
B Y
17
⑵ 或 逻辑 A B Y
0 00 1
1 01 1
0
11
1
≥1A
B Y
Y = A + B
Y?B
A
或运算也叫逻辑加，运算特点：
有 1出 1，全 0出 0
+AB Y AB Y
18
⑶ 非 逻辑
01
A Y
1
0
Y = A
1A Y
Y?A
非运算也就是取反，有 0为 1，有 1为 0
A Y A Y
19
1.2.3 常见复合逻辑运算：
非
⑴ 与非 逻辑
A B Y
0 00 1
1 01 1 1
1
1
0
A
B Y
Y = A B
A
B Y
A
B Y
⑵ 或非 逻辑
A B Y
0 00 1
1 01 1 0
1
0
0
≥1A
B Y
Y = A + B
+AB Y
A
B Y⑶ 异或 逻辑
A B Y
0 00 1
1 01 1 1
0
1
0
=1A
B Y
Y = A + B
Y = A B+A B
A
B
Y
A
B
Y
⑷ 同或 逻辑
A B Y
0 00 1
1 01 1 0
1
0
1
=A
B Y
A B+A BY =
Y = A B ⊙AB Y
A
B
Y
20
CDABY
Y
A
B
C
D
&
≥ 1
3.与或非：
“先进行与运算,再进行或非运算”
表达式：
逻辑符号：
异或：,A,B不相同,Y为 1； A,B相同,Y为 0”
同或：,A,B相同,Y 为 1； A,B不相同,Y为 0”
表达式,Y=A⊙ B
21
§ 1.3逻辑代数的基本定律和规则
1.3.1基本定律和恒等式：
定律名称 公式（恒等式）
0,1 律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0
互补 律 A + A = 1 A A = 0
交换 律结合 律分配 律吸收 律同一 律反演 律
A + B = B + A
A B = A + B
A (B C)= (A B) C
A B+A C=A (B+C) (A+B) (A+C)=A+BC
A+(B+C)=(A+B)+C
A + A = A
A + B = A B
A A = A
A + A B = A
A + AB = A+B
A (A+B)= A
A (A+B)= A B
常量与变量的关系与普通代数类似的规律逻辑代数的特殊规律其他恒等式,AB + AC + BC = AB + AC
A B = B A
22
A + B = A B A B = A + B
证明：
（ 1）用真值表证明
A B A + B A B A B A +B
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
（ 2）用恒等式证明
A + A B = A（ 1+B） =A
A (A+B)= AA + AB =A+ AB = A
A + AB = A+AB+AB =A +B（ A+A） = A + B
23
（ 3）用开关模型证明
A B
A + A B = A（ 1+B） =A
A A
A （ A + B） = A A+AB = A B?
B
A
A
A B
逻辑代数又称开关代数
24
1.3.2基本规则：
Y'=(A+B) (A+C 1)Y=A B+A (C+0)
Y=A B C Y '= A +B + C
(A+ B) (A+ C)
A B + A C = A (B + C)
A + B C=
对偶式
1.对偶规则：
+
0 1 对偶式
25
一,代入定理：
例 1：已知 Y=A(B+C)+CD,求解：
))(()( DCCBADCCBAY
DCBDACBCA
CBDACA
Y
例 2,CDCBAY 求 Y
CDCBACDCBAY )()(
CDCBA )(
26
2.反演规则：
+?
0 1
原变量 反变量反函数例,（ 1） 0DCBAF
1
1)DC()BA(F 1
注意括号注意括号
（ 2） EDCBAF
2
EDCBAF 2
非号不动
0DCBAF 1
27
用处,实现互补运算（求反运算）。
1.运算顺序：先括号? 再乘法?后加法。
2.不是一个变量上的非号不动。
注意,(变换时,原函数运算的先后顺序不变 )
3.代入规则：
任何一个含有 A的逻辑等式中，若将所有出现 A的位置都代之以一个逻辑函数式，
等式仍然成立。
例,A +A B = A
CD + CD (E+F) GH = CD
28
§ 1.4逻辑函数及其表示方法
A B
Y~ 220V
右图是一个控制楼梯照明灯的电路，
单刀双掷开关 A装在楼下,B装在楼上，这样在楼下开灯后，可在楼上关灯；同样，也可在楼上开灯，而在楼下关灯。
例：
A B Y
0 00 1
1 01 1 0
1
0
1
A B+A BY =
= A B =1AB Y
1.4.1常用的逻辑函数表示方法：
真值表、逻辑函数式、逻辑图、卡诺图
29
1.4.2各种表示方法间的相互转换：
例：表决逻辑
A B C Y
0 0 0
0 0 10 1 0
0 1 11 0 0
1 0 11 1 0
1 1 1
0
00
10
1
1 1
Y =ABC+ABC+ABC+ABC
① 真值表 逻辑式 ② 逻辑图 逻辑式
Y = AB +AB
≥1 Y
A
B
1
1
AB
AB
≥1
≥1
1
1
1
Y
A
B
C
Y =A+B A C + B C
30
1.4.3逻辑函数的两种标准形式：
⑴ 最小项和最大项：
① 最小项 F1 = f ( A,B)
F2 = f ( A,B,C,…)A B A B AB AB AB
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
性质,1对任一最小项,只有一组变量取值使之为 1.
2不同最小项为 1的变量取值不同。
3对任一组变量取值,任两个最小项乘积为 0.
4对任一组变量取值,全体最小项之和为 1。
ABC
A(B+C)ABC
ABAC
31
最小项编号
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
0
1
2
3
1 0 01 0 1
1 1 0
1 1 1
45
6
7
最小项 使最小项为 1的变量取值
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
对应的十进制数 编号
m0
m1
m2
m3m
4m
5m
6m
7
A B C = m5 A B C = m6
32
F1 = f ( A,B)
F2 = f ( A,B,C )
② 最大项
A+BC A+B+C A+B+C
A+B+C （ A+B） C
性质,1对任一最大项,只有一组变量取值使之为 0.
2不同最大项为 0的变量取值不同。
3对任一组变量取值,任两个最大项之和为 1.
4对任一组变量取值,全体最大项之积为 0 。
A+B A+B A+B A+B
33
最大项编号
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
0
1
2
3
1 0 01 0 1
1 1 0
1 1 1
45
6
7
最大项 使最大项为 0的变量取值
A+ B+ C
A+ B+ C
A+ B+ C
A+ B+ C
A+ B+ C
A +B+ C
A+ B+ C
A+ B+ C
对应的十进制数 编号
M0
M1
M2
M3
M4
M5M
6
M7
A+ B+ C = M5 A+ B+ C = M6
③ 最小项和最大项的关系：
非
A B C = m5
A+ B+ C = M5 M
i = mi
34
① 最小项表达式 ------标准与或式例 1,Y=A B A C =AB + AC=AB(C+C)+AC(B+B)
=ABC+ABC+ABC+ABC
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
0
1
2
3
1 0 01 0 1
1 1 0
1 1 1
45
6
7
最小项 使最小项为 1的变量取值
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
对应的十进制数 编号
m0
m1
m2
m3m
4m
5m
6m
7
= m7 + m6 + m3 + m1 =? mi ( i=1,3,6,7 )
⑵ 逻辑函数的两种标准形式：
Y=? mi
35
例 2,Y=A B A C =AB + AC=AB(C+C)+AC(B+B)
=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=? mi Y=? mk
k≠i Y=? mkk≠i
Y = Π = Πk≠i mk Mk
k≠i
② 最大项表达式 ------标准或与式 Y = Π Mk
= ΠMk(k=0,2,4,5)= M0 M2 M4 M5
=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)
= m7 + m6 + m3 + m1 =? mi (i= 1,3,6,7 )
36
练习
37
步骤一：
（ 1）
（ 2）
38
（ 3）
39
（ 4） 根据写出的各逻辑函数表达式，画出逻辑符号图
40
1,公式法 —布尔代数；
2,图形法 —卡诺图 (n? 4) 。
化简：两种方法
41
§ 1.5 逻辑函数的公式化简法 与转换一、公式化简法：
最简与或式,乘积项的 项数最少。每个乘积项中 变量个数最少。
1.并项法：
A(BC+BC)+A(BC+BC)
= ABC+ABC+ABC+ABC
= AB(C+C)+AB(C+C)
= AB + AB = A (B+B)
= A
A + A = 1
42
2,吸收法,A + AB = A A + AB = A+B
AC
AB+AC+BC= AB+（ A+B） C
例,ABCDE（ FG+H） +AC=
= AB+ABC
= AB+C
3,配项法,A + A= 1 A A = 0
AB+AC+BC =
= AB+AC
1 AB+AC+BC(A+A)
= AB+AC+ABC+ABC
= AB(1+C)+AC(1+B)
43
例,Y=AD+AD+AB+AC+BD+ABEF+BEF
=A+AC+BD+BEF
=A+C+BD+BEF
=A+AB +AC+BD+BEF
44
二、各种表达式的转换：
与非 ---与非
= AC+CD
或与非与或例 1,Y= AC+CD
= A C C D
= (A+C) (C+D)
与或或与或非 ---或非与 ---或非例 2,Y= AC+CD
= AC+CD+AD+CC
= A(C+D)+C(C+D)
= (A+C) (C+D)
= A+C + C+D
= AC+CD
45
三、逻辑函数转换为最简与非表达式：
与：
或：
与或：
或非：
AB = A B
A+B = A B
A+B = A B
AB+CD = AB CD
与或非,AB+CD = AB CD
异或,AB+AB = AB AB
AB+AB = A A+AB+AB+B B
=A(A+B)+B(A+B)
=AA B+BA B
= AA B BA B (只用 4个门）
(需用 5个门）
46
一、卡诺图化简的构成思路：
最小项 C D Y1 Y2 Y3 Y4 Y5
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
C D
C D
C D
C D
相邻
Y2= CD+CD=D
Y1= CD+CD=C(D+D)=C
Y3= CD+CD
C D
0 00 1
1 11 0
1
1
0
0
Y1
0
1
1
0
Y2
0
1
0
1
Y3
§ 1.6 逻辑函数的 卡诺图 化简法相邻最小项
Y4=CD+CD+CD
=CD+CD+CD+CD
=C(D+D)+D(C+C)
=C+D
Y4
011 1
00 01 11 10
C C
D DD
Y5 = 1
Y5
111 1
00 01 11 10
47
二、三变量卡诺图：
111 1 1 B7
001 1 0B6
111 0 1B5
001 0 0B4
010 1 13
00 0 1 02
110 1 01
100 0 00
Y2Y1BCD最小项编号
DB
B
B
B C
C
DC
C
D
D
D
C
C
DC
C
D
D
BC CD+BCD
BD(
Y1= +
=
=
D BCD+B
BD(
BD+BD=(
C+C)C+C)+
B+B)D=D
C+BDY2=B0110 0011
Y2 00 01 11 10C C
D D D
B
B
0 1 23
4 5 7 6
BCD
0110
0110
Y1 00 01 11 10
C C
D D D
B
B
0 1 3 2
4 5 7 6
BCD
0
1
48
Y1= B + D
Y2= C + B D
练习：
②
①
1111
1001
Y1 00 01 11 10
C C
D D D
B
B
0 1 3 2
4 5 7 6
1100
1110
Y2 C C
D D D
B
B
0 1 3 2
4 5 7 6
③
111
111
Y3 C
D
B
0 1 3 2
4 5 7 6
Y2= D + B C+B C
49
⑴ 画出相应的卡诺图并标出各变量管辖范围；
⑵把函数值填入卡诺图；
⑶找出并合并相邻最小项（ 画包围圈 ）；
⑷写出最简式（ 将每个包围圈的逻辑式相或 ）。
⑷ 有些方格（ 1）可重复利用。
卡诺图化简步骤：
合并原则：
1011
11 01
Y2
00 01 11 10
C C
D D D
B
B
0 1 23
4 5 7 6
BCD
⑴ 先画大圈,再画小圈,要求包完所有 1后圈的个数最少；
⑵ 不论大圈小圈，圈内部的,1”都是 2n个 (n=0,1,2…)；⑶ 每个包围圈都要有新的独立方格（ 1） ;
50
A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 0
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
三、四变量卡诺图：
逻辑相邻 (四个 )
循环邻接上下封闭
A BCD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
0000 0001 0011 0010
0100 0101 0111 0110
1100 1101 1111 1110
1000 1001 1011 1010
A
A
A
B
B
D DD
CC
51
A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 0
7 0 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 0
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
0 1 3
4 5 67
2
8 9 1011
12 13 15 141 1
1 1
1 1
1 1
Y = D
AB
CD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
Y
A
A
B
B
B
C C
D DD
52
AB
CD
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
Y
A
A
B
B
B
C C
D DD
1 1 1 1
1
1
1 1
1 1 1 1
Y = B + CD + AD +AC
例：
53
Y1= CD + BD + ABCD
AB
CDY1
A
A
B
B
B
C C
D DD
1 1
1
1
1
1
1
AB
CDY2
A
B
C
D
1 1
1 1 1 1
1
AB
CDY3
A
B
C
D
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
AB
CDY4
A
B
C
D
1 1 1 1
1 1
1 1
1
Y2 = AB + ACD +BCD + ABD
Y3 = D + AB Y4 = AB + BD + ABD
54
四、具有 无关项 的逻辑函数的 化简：
约束,用来说明逻辑函数中，对输入变量取值所加的限制（ 定义域 问题）。
例,n个变量的 2n种组合中有一些变量取值不会出现
(或不允许出现 )，这些状态对应的 最小项,称为 约束项（任意项、无关项,无所谓状态）。
在真值表和卡诺图中，用,? 或?表示 无关项 ;
在逻辑式中,用?d 来表示 无关项之和。
(don’t care)
任意项,在输入变量某些取值下函数值是 1是 0均可，并不影响电路的功能，这些状态所对应的最小项称为 任意项 。
55
利用无关项进行化简用卡诺图法时，可以 利用无关项进行化简,逻辑函数的值 可以当,0”处理，也可以当,1”处理； 必要时当,1”
处理,这样可以使逻辑函数化得更简单
（包围圈可以尽量大）。
56
六个 约束项,m10,m11,m12,m13,m14,m15
二? 十进制编码
（ 8421 BCD)
例 1,四变量?A,B,C,D取：A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0?
11 1 0 1 1?
12 1 1 0 0?
13 1 1 0 1?
14 1 1 1 0?
15 1 1 1 1?
AB
CDY
A
A
B
B
B
C C
D DD
1 1
1
1
1
Y=BC+AD+BD+BCD
57
例 2：化简具有约束的逻辑函数,DCBAB C DADCBAY
给定 约束条件为：
0DCBADA B CA B C DDCBADCABDCBACDBA
解：
DADADACDCABDADBA
DCBADA BCDCABDCBA
DCBABC DACDBADCBA
DCBABC DADCBAY
ABCD
Y
A
A
B
B
B
C C
D DD
1
1
1
DADAY
58
五、逻辑函数式的化简：
例,Y1= (A+B+C)(A+B+C) =AB+AC+AB+BC +AC+BC
Y1 B B
C C C
A
A
ABC
1 1 1
1 11 Y
1=AB+AC+BC
Y2=ABCD+B+C+D+AC+A
=ABCD+BCD+AC+A
AB
CDY
A
A
B
B
B
C C
D DD
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1 1Y2= A + C
59
DB)D,C,B,A(F 1
练习,BADCBABDABDBA)D,C,B,A(F
1
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
B
D
C
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
F1
60
（ 1） 可以取 F=0的项化简,
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
0
0
0
0
DB)D,C,B,A(F 1?
DB DB)D,C,B,A(F 1
卡诺图化简几点说明：
61
（ 2） 化简结果不唯一：
CBBACABA)C,B,A(F2
CBCABA)C,B,A(F2
A
BC00 01 11 10
1 1
1 1 1
1A
B
C
ABC00 01 11 10
1 1
1 1 1
1A
B
C
BACBCA)C,B,A(F2
项数,因子数对应相同。
化简结果不唯一
62
练习：（ 1） 判断是否最简：
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1 1
1
1 1 1
1
CA
BA
CB
AD
冗 余项
ADCBBACA)D,C,B,A(F 2
DCBAA B DDCBBA)D,C,B,A(F 2
63
（ 2）将下列具有约束项的逻辑函数化为最简与或式。
)14,11,8,3(d)15,9,7,5,1(m)D,C,B,A(F 1
)14,13,12,10,7,6,5,2(m)D,C,B,A(F 2
)11,9,8,3,1,0(d
)5,3,2,1(d)7(m)C,B,A(F 3
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
64
)14,11,8,3(d)15,9,7,5,1(m)D,C,B,A(F 1
B
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1
11
1
1
DA
CD
DB
DBCDDA)D,C,B,A(F 1
高位 低位
65
B
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
11
1
1
1
1
1
1
DA
DC
CA
CADADC)D,C,B,A(F 2
)14,13,12,10,7,6,5,2(m)D,C,B,A(F 2
)11,9,8,3,1,0(d
66
)5,3,2,1(d)7(m)C,B,A(F 3
C CF
3
A
BC
0
1
00 01 11 10
1
高位 低位
67
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
BD
CBA
DCA
DCA
CBA
CBADCADCACBABD
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
每次勾圈时，应包含 尽量多的独立格。
68
B
A B C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1 0
A
C
D
1 1 1
1 11
1 11
1 1 1
DB
CAB
BCA
DCA
ACD
DCAA C DBCACABDB
CBADCADCACBABD
F4(A,B,C,D)=?m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)
