16.5 实物粒子的波 -粒二象性德布罗意（ Louis Victor due de
Broglie)
法国人,1892年出生，少年时酷爱历史和文学。其哥哥是法国著名的物理学家。受其兄影响，从文史转到自然科学。
1924年，发表博士论文,量子理论的研究,。
1927年，美国物理学家戴维逊和革末以及英国物理学家 G.P.汤姆逊分别在实验中发现电子衍射，证明了物质波的存在。
1929年，德布罗意获得诺贝尔物理学奖。
类比法光 实物粒子经典忽略强调波动性（光的干涉、衍射）
粒子性！
强调粒子性（具有能量 E、动量 p）
波动性？
他用历史的眼光，对比的方法，客观科学的态度认识了实物粒子。
一,物质波 德布罗意假设任何物质粒子,既具有粒子性,以能量 E、动量 P
描述,又 具有波动性,以频率?和波长?描述 。
它们之间的关系即 德布罗意公式 是 ∶
当 v? c时,有?叫德布罗意波波长光子实物粒子（电子、原子、分子等微观粒子）,
从 德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件,
nr?π2?,4,3,2,1?n
nhrm?vπ2
两端固定的弦，若其长度等于波长整数倍则可形成稳定的驻波,
2πrn
将弦弯曲成圆时
vm
h电子绕核运动其德布罗意波长为
π2
hnrmL v角动量量子化条件二 德布罗意波的实验证明
1 戴维孙 — 革末电子衍射实验（ 1927年）
I
35 54 75 V/U
50
当散射角 时电流与加速电压曲线
50
检测器电子束散射线
电子被镍晶体衍射实验
M
U
K
G
电子枪
2 G,P,汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
U M
D P
电子束透过多晶铝箔的衍射
K
双缝衍射图三 应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981
年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜,
例 1、计算电子经过 U=100v的电压加速,其德布罗意波波 长为多少？
解 ∶ U=100v<< 非相对论例 2、计算质量 m=o.o1kg,速率 v=300m/s的子弹的德布罗意 波波长 。
其波长之短已无法测量,故可认为不具有波动性。
解海森伯于 1927 年提出不确定原理对于微观粒子 不 能 同时 用确定的位置和确定的动量来描述,
1） 微观粒子 同一 方向上的坐标与动量 不可同时 准确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制,
2） 不确定的根源是,波粒二象性,这是自然界的根本属性,
hpy y
hpx x
hpz z
不确定关系物理意义
15-5-3不确定关系
p
h
b
hp
x
hpx x
bs i n
一级最小衍射角电子经过缝时的 位置不确定,bx
bppp x
s i n
电子经过缝后 x 方向动量不确定用电子衍射说明不确定关系
y
x
hp?
hp?b
电子的单缝衍射实验
o
hpx x考虑衍射次级有二,物理意义
1、不确定关系是粒子波粒二象性的反映 。在推导公式时 应用了单缝衍射公式和德布罗意公式 。
2、粒子的位置和动量不能同时精确测量,因此粒子的 经典轨道已没有意义 。
准确推导所得到的不确定关系为
2x
xp
玻恩、海森伯、玻尔提出量子力学的诠释以后，不久就遭到爱因斯坦和薛定谔等人的反驳，他们不同意对方提出的概率波，不确定关系等观点，双方展开了一场长达半个世纪的大论战。许多理论物理学家、实验物理学家和哲学家均卷入了这场论战，这一论战至今还未结束。
微观粒子的某些共轭的物理量不可能同时具有确定的值，除了位置和动量，还有时间和能量，方位角和角动量等。
电子停留时间长（称为平均寿命）的能级，能级宽度窄，电子处于这样能级较稳定。
平均寿命短的能级，能级宽度宽，电子处于这样能级稳定性差。
例 1、己知 ∶ 子弹质量 m =0.1kg，测得其位置不确定量?x为 10 -6 m,求速率 v的不确定量解 ∶ 由此速度的不确定量如此之小,以至可认为是确定的,
例 2、由玻尔理论得到氢原子中电子的运动速率为
m/s,若其不确定量为 1.0%,求电子位置的变化范围。
解 ∶ 由此值已超出原子的线度（ 10-10m），所以认为原子中的电子有确定的位置同时又有确定的速率，是无意义的。
显然，由于微观粒子的波动性，谈核外电子的轨道将无从谈起。
16,6 波函数 量子力学的建立德布罗意,薛定谔,海森伯,玻恩,狄拉克一,波函数为描述微观粒子的波粒二象性,引入物质波波函数,
与经典波 类比，波函数是时间和空间坐标的函数。
回顾平 面波波动方程写成复数形式
(1)
(2)
上式只描述波动性,为描述其粒子性,由德布罗意假设有 ∶
代入 (2)式得 ∶
波函数一般为复数其中波函数模的平方为：
*ΨΨΨ 2,=
ψ
i
h ( E t - p x )
ψ
( E t - p x )ih
o
2
ψo e,o e+=
=
考虑到自由粒子沿波函数可写为：
方向传播的三维情况
，
r
或：
Ψ =( )r t,ψ
i
h,o e E t p r( ).
Ψ( x,y,z,t ) =
i
hoe E t p x( )x p yy p zz++[ ]ψ
h
二,玻恩对波函数的统计解释
1、某一时刻出现在某点附近体元 中的粒子的概率,与该体元中波函数的振幅的平方和体积元大小的乘积成 正比 。
粒子在 t 时刻，在某点 (x,y,z)处单位体积出现的几率，即几率密度为：
这就是玻恩对波函数的统计解释。
Ψ *.ΨΨ2 =
2、归一化条件物质波又叫概率波态叠加原理：
物理意义：某时刻在整个空间发现粒子的概率为 1。
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
,:
后两项为干涉相德布罗意波的统计解释德布罗意波的振幅的平方与粒子在该处附近出现的概率成正比 。
为了解释微观粒子的波动性,历史上曾经有人认为,
粒子运动路径像波粒子的某种实际结构 -波包 错误的 !
粒子在空间形成疏密波
1926年波恩指出,德布罗意波或波函数 不代表实际物理量的波动,而是描述粒子在空间的概率分布的概率波,
),( tr?
对德布罗意波的统计诠释,将量子概念下的波和粒子统一起来了,粒子性 -具有一定能量,动量和质量,但不具有确定的轨道,运动规律不遵从牛顿运动定律 ;
波动性 -并不指某个物理量在空间的波动,而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率,
量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价的理论 —— 矩阵 力学和 波动 力学,
相对论量子力学 （ 1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程,
薛定谔（ Erwin Schrodinger，
1887~1961）奥地利物理学家,
1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法,
..
16,6,2 薛定谔方程二 薛定谔方程（ 1925 年）
自由粒子薛定谔方程的建立：低速情况下，描述微观粒子在外立场中运动的微分方程。
设质量为 m、动量为 p、能量为 E的自由粒子沿 x轴运动,其波函数为 ∶
()
0 ( )(,,,)
iiE t p r E t
rx y z t e e
iE
t
对时间求一阶导数：
对位置求一阶导数：
ii j k p
x y z
对位置求二阶导数：
222
2
2 2 2 2
1
p
x y z
引入算符，注意对应关系：
,E i p i
t
2
2
pE
m?
2
2
2
2
2
2
zyx?
2
2
2
2
i
tm
在有外场时：
2
(,)2pE V r tm
哈密顿量
),(
2
2
2
trU
m
H
粒子的总能量
H?称 为能量算符用哈密顿量表示薛定谔方程
),(?),( trHtrti
2
2 (,),
2
i V r t
tm
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程若 0tH 能量守恒，称为定态。
iE
t
2
2 (,),
2
i V r t
tm
2
2
2
VE
m
2
22
( ) 2 ( ) ( ) 0d x m E V x
dx
波函数的 标准条件,单值的，有限的和连续的,
1ddd,,2 zyx zyx?1） 可归一化 ;
zyx?
,,2） 和 连续 ;
),,( zyx?3） 为有限的、单值函数,
1） 能量 E 不随时间变化；
2） 概率密度 不随时间变化,2?
定态波函数性质
16.6.4 势阱中的粒子和一维散射问题一,一维无限深势阱中的粒子
0
x
U(x)=0
a
1.势函数
0)(?xU )0( ax
)( xU 0(?x,)ax?
2.哈密顿量 )(
2
2
22
xU
dx
d
mH
3.定态薛定谔方程
)()(2 2
22
xEx
dx
d
m
令 22 2?mEk? 得 0)()( 2 xkx
阱内：
阱外：
4.分区求通解
0)( x
kxBkxAx s i nc o s)(
A和 B是待定常数
5.由波函数自然条件和边界条件定特解
00)0( A
0s in0)( kaa,（ B? 0）
)0(, knka,3,2,1,nank
)()(]2[ 2
22
xEx
dx
d
m
阱外：
阱内：
(1)能量本征值
a
nkmEk n,2
2
2
＝由
,3,2,1,2 22
22
nnmaE n得
能量取分立值（能级）?能量量子化
当 时，量子化?连续n
最低能量 (零点能 ) — 波动性
02 2
22
1 maE
定态波函数
( ) s in,1,2,3,,,,,,nn nx A x na
归一化 条件 1dd
0
*2
xx
a
1dπs i n0 22 xxanA a
aA
2?
)0(,πs i n2)( axxanax
(2)本征函数系
),3,2,1(s i n2)( nxanaxn?
(3)本征函数系的正交性可证 nm
a
dxxnxm,
0
)()(*
(4)概率密度
xanaxxW nn 22 s i n2)()(
当 时，量子?经典n
0?x 2a a
1?n
2?n
3?n
4?n
n?
0?x 2a a
2n?
xanAx πs i n)( xanax πs i n2)( 22
0p?E
1E
14E
19E
116E
例 1.已知在一维无限深矩形势阱中，粒子的波函数为
a
x
ax 2
3c o s1
)(
则粒子在 x =5 a/6 处出现的几率密度为,1/2a
),( axa
例 2.一粒子在一维无限深势阱 0<x<a中运动，
粒子的波函数为
( ) s inn nx A x
a
（ 1）求归一化常数 A,(2)如粒子处于基态，
从阱宽的一端到离此阱二分之一的距离内粒子出现的概率是多少？
解：
1dv
2A
a
1 ( ) s in
xxA
a
/2
22
0
2s i na xP A d x
aa
对应原理在某些 极限 的条件下，量子规律可以 转化 为经典规律,
2
2
1 8)12( ma
hnEEE
nn
势阱中相邻 能级 之 差
21,1 amE
能量 ),3,2,1(,
8 2
2
2 n
ma
hnE
n
能级 相对 间隔
nma
hn
ma
hn
E
E
n
n 2
88
2 2
2
2
2
2
当 时，,能量视为 连续 变化,n 0)(
nn EE
例,电子在 的势阱中,m100.1 2a
eV1054.7
8
2 152
2
n
ma
hnE （ 近似于连续 ）
当 时,（ 能量分立 ） eV4.75nm10.0 nEa
当 很大时，,量子效应不明显，能量可视为 连续 变化，此即为 经典对应,
amn,,0 E
物理意义
eV1077.3
8
152
2
2
2 n
ma
hnE
16.6.5 一维散射问题
1．梯形势
0,
0,0)(
0 xU
xxU
2
02
2
)(2
EUmk
0)()(:0 2222 xkxx
2
2
1
2
mEk?
0)()(:0 1211 xkxx
薛定谔方程：
通解：
xkDexkCex
xik
Be
xik
Aex
22
2
11
1
)(
)(
0)(2 x? 0?D特解：
xikBexikAex 11
1 )(
xkCex 2
2 )(
（ E?U＝ U0,衰减解）
电子逸出金属表面的模型
)0(22 EUma
eT
(E?U＝ 0,振动解）
2.隧道效应（势垒贯穿）
3.扫描隧道显微镜
SAUeI
48 个 Fe 原 子 形 成
,量子围栏,,围栏中的 电子形成驻波,
隧道电流 I与样品和针尖间距离 S的关系
§ 16.6.6 一维谐振子一,势函数
222
2
1
2
1)( xmkxxU
m— 振子质量,?— 固有频率,x— 位移二,哈密顿量
22
2
22
2
1
2
xm
dx
d
mH
三,定态薛定谔方程
0)()21(2)( 222 xxmEmx
1.能量本征值
),2,1,0()21()21( nhnnE n
能量量子化
能量间隔?h
最低能量 (零点能 ) 0210E
2(x)
x
2,本征函数和概率密度四,与经典谐振子的比较
1.基态位置概率分布
量子：在 x=0处概率最大
222
00 )()(
xexxW?
经典：在 x=0处概率最小
2.符合玻尔对应原理
n? 量子概率分布?经典概率分布
能量量子化?能量取连续值
nmnm dxxx,
* )()(
3.本征函数系的正交性
Broglie)
法国人,1892年出生，少年时酷爱历史和文学。其哥哥是法国著名的物理学家。受其兄影响，从文史转到自然科学。
1924年，发表博士论文,量子理论的研究,。
1927年，美国物理学家戴维逊和革末以及英国物理学家 G.P.汤姆逊分别在实验中发现电子衍射，证明了物质波的存在。
1929年，德布罗意获得诺贝尔物理学奖。
类比法光 实物粒子经典忽略强调波动性（光的干涉、衍射）
粒子性！
强调粒子性（具有能量 E、动量 p）
波动性？
他用历史的眼光，对比的方法，客观科学的态度认识了实物粒子。
一,物质波 德布罗意假设任何物质粒子,既具有粒子性,以能量 E、动量 P
描述,又 具有波动性,以频率?和波长?描述 。
它们之间的关系即 德布罗意公式 是 ∶
当 v? c时,有?叫德布罗意波波长光子实物粒子（电子、原子、分子等微观粒子）,
从 德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件,
nr?π2?,4,3,2,1?n
nhrm?vπ2
两端固定的弦，若其长度等于波长整数倍则可形成稳定的驻波,
2πrn
将弦弯曲成圆时
vm
h电子绕核运动其德布罗意波长为
π2
hnrmL v角动量量子化条件二 德布罗意波的实验证明
1 戴维孙 — 革末电子衍射实验（ 1927年）
I
35 54 75 V/U
50
当散射角 时电流与加速电压曲线
50
检测器电子束散射线
电子被镍晶体衍射实验
M
U
K
G
电子枪
2 G,P,汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
U M
D P
电子束透过多晶铝箔的衍射
K
双缝衍射图三 应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981
年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜,
例 1、计算电子经过 U=100v的电压加速,其德布罗意波波 长为多少？
解 ∶ U=100v<< 非相对论例 2、计算质量 m=o.o1kg,速率 v=300m/s的子弹的德布罗意 波波长 。
其波长之短已无法测量,故可认为不具有波动性。
解海森伯于 1927 年提出不确定原理对于微观粒子 不 能 同时 用确定的位置和确定的动量来描述,
1） 微观粒子 同一 方向上的坐标与动量 不可同时 准确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制,
2） 不确定的根源是,波粒二象性,这是自然界的根本属性,
hpy y
hpx x
hpz z
不确定关系物理意义
15-5-3不确定关系
p
h
b
hp
x
hpx x
bs i n
一级最小衍射角电子经过缝时的 位置不确定,bx
bppp x
s i n
电子经过缝后 x 方向动量不确定用电子衍射说明不确定关系
y
x
hp?
hp?b
电子的单缝衍射实验
o
hpx x考虑衍射次级有二,物理意义
1、不确定关系是粒子波粒二象性的反映 。在推导公式时 应用了单缝衍射公式和德布罗意公式 。
2、粒子的位置和动量不能同时精确测量,因此粒子的 经典轨道已没有意义 。
准确推导所得到的不确定关系为
2x
xp
玻恩、海森伯、玻尔提出量子力学的诠释以后，不久就遭到爱因斯坦和薛定谔等人的反驳，他们不同意对方提出的概率波，不确定关系等观点，双方展开了一场长达半个世纪的大论战。许多理论物理学家、实验物理学家和哲学家均卷入了这场论战，这一论战至今还未结束。
微观粒子的某些共轭的物理量不可能同时具有确定的值，除了位置和动量，还有时间和能量，方位角和角动量等。
电子停留时间长（称为平均寿命）的能级，能级宽度窄，电子处于这样能级较稳定。
平均寿命短的能级，能级宽度宽，电子处于这样能级稳定性差。
例 1、己知 ∶ 子弹质量 m =0.1kg，测得其位置不确定量?x为 10 -6 m,求速率 v的不确定量解 ∶ 由此速度的不确定量如此之小,以至可认为是确定的,
例 2、由玻尔理论得到氢原子中电子的运动速率为
m/s,若其不确定量为 1.0%,求电子位置的变化范围。
解 ∶ 由此值已超出原子的线度（ 10-10m），所以认为原子中的电子有确定的位置同时又有确定的速率，是无意义的。
显然，由于微观粒子的波动性，谈核外电子的轨道将无从谈起。
16,6 波函数 量子力学的建立德布罗意,薛定谔,海森伯,玻恩,狄拉克一,波函数为描述微观粒子的波粒二象性,引入物质波波函数,
与经典波 类比，波函数是时间和空间坐标的函数。
回顾平 面波波动方程写成复数形式
(1)
(2)
上式只描述波动性,为描述其粒子性,由德布罗意假设有 ∶
代入 (2)式得 ∶
波函数一般为复数其中波函数模的平方为：
*ΨΨΨ 2,=
ψ
i
h ( E t - p x )
ψ
( E t - p x )ih
o
2
ψo e,o e+=
=
考虑到自由粒子沿波函数可写为：
方向传播的三维情况
，
r
或：
Ψ =( )r t,ψ
i
h,o e E t p r( ).
Ψ( x,y,z,t ) =
i
hoe E t p x( )x p yy p zz++[ ]ψ
h
二,玻恩对波函数的统计解释
1、某一时刻出现在某点附近体元 中的粒子的概率,与该体元中波函数的振幅的平方和体积元大小的乘积成 正比 。
粒子在 t 时刻，在某点 (x,y,z)处单位体积出现的几率，即几率密度为：
这就是玻恩对波函数的统计解释。
Ψ *.ΨΨ2 =
2、归一化条件物质波又叫概率波态叠加原理：
物理意义：某时刻在整个空间发现粒子的概率为 1。
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
,:
后两项为干涉相德布罗意波的统计解释德布罗意波的振幅的平方与粒子在该处附近出现的概率成正比 。
为了解释微观粒子的波动性,历史上曾经有人认为,
粒子运动路径像波粒子的某种实际结构 -波包 错误的 !
粒子在空间形成疏密波
1926年波恩指出,德布罗意波或波函数 不代表实际物理量的波动,而是描述粒子在空间的概率分布的概率波,
),( tr?
对德布罗意波的统计诠释,将量子概念下的波和粒子统一起来了,粒子性 -具有一定能量,动量和质量,但不具有确定的轨道,运动规律不遵从牛顿运动定律 ;
波动性 -并不指某个物理量在空间的波动,而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率,
量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价的理论 —— 矩阵 力学和 波动 力学,
相对论量子力学 （ 1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程,
薛定谔（ Erwin Schrodinger，
1887~1961）奥地利物理学家,
1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法,
..
16,6,2 薛定谔方程二 薛定谔方程（ 1925 年）
自由粒子薛定谔方程的建立：低速情况下，描述微观粒子在外立场中运动的微分方程。
设质量为 m、动量为 p、能量为 E的自由粒子沿 x轴运动,其波函数为 ∶
()
0 ( )(,,,)
iiE t p r E t
rx y z t e e
iE
t
对时间求一阶导数：
对位置求一阶导数：
ii j k p
x y z
对位置求二阶导数：
222
2
2 2 2 2
1
p
x y z
引入算符，注意对应关系：
,E i p i
t
2
2
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2
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2
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2
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2
2
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2
i
tm
在有外场时：
2
(,)2pE V r tm
哈密顿量
),(
2
2
2
trU
m
H
粒子的总能量
H?称 为能量算符用哈密顿量表示薛定谔方程
),(?),( trHtrti
2
2 (,),
2
i V r t
tm
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程若 0tH 能量守恒，称为定态。
iE
t
2
2 (,),
2
i V r t
tm
2
2
2
VE
m
2
22
( ) 2 ( ) ( ) 0d x m E V x
dx
波函数的 标准条件,单值的，有限的和连续的,
1ddd,,2 zyx zyx?1） 可归一化 ;
zyx?
,,2） 和 连续 ;
),,( zyx?3） 为有限的、单值函数,
1） 能量 E 不随时间变化；
2） 概率密度 不随时间变化,2?
定态波函数性质
16.6.4 势阱中的粒子和一维散射问题一,一维无限深势阱中的粒子
0
x
U(x)=0
a
1.势函数
0)(?xU )0( ax
)( xU 0(?x,)ax?
2.哈密顿量 )(
2
2
22
xU
dx
d
mH
3.定态薛定谔方程
)()(2 2
22
xEx
dx
d
m
令 22 2?mEk? 得 0)()( 2 xkx
阱内：
阱外：
4.分区求通解
0)( x
kxBkxAx s i nc o s)(
A和 B是待定常数
5.由波函数自然条件和边界条件定特解
00)0( A
0s in0)( kaa,（ B? 0）
)0(, knka,3,2,1,nank
)()(]2[ 2
22
xEx
dx
d
m
阱外：
阱内：
(1)能量本征值
a
nkmEk n,2
2
2
＝由
,3,2,1,2 22
22
nnmaE n得
能量取分立值（能级）?能量量子化
当 时，量子化?连续n
最低能量 (零点能 ) — 波动性
02 2
22
1 maE
定态波函数
( ) s in,1,2,3,,,,,,nn nx A x na
归一化 条件 1dd
0
*2
xx
a
1dπs i n0 22 xxanA a
aA
2?
)0(,πs i n2)( axxanax
(2)本征函数系
),3,2,1(s i n2)( nxanaxn?
(3)本征函数系的正交性可证 nm
a
dxxnxm,
0
)()(*
(4)概率密度
xanaxxW nn 22 s i n2)()(
当 时，量子?经典n
0?x 2a a
1?n
2?n
3?n
4?n
n?
0?x 2a a
2n?
xanAx πs i n)( xanax πs i n2)( 22
0p?E
1E
14E
19E
116E
例 1.已知在一维无限深矩形势阱中，粒子的波函数为
a
x
ax 2
3c o s1
)(
则粒子在 x =5 a/6 处出现的几率密度为,1/2a
),( axa
例 2.一粒子在一维无限深势阱 0<x<a中运动，
粒子的波函数为
( ) s inn nx A x
a
（ 1）求归一化常数 A,(2)如粒子处于基态，
从阱宽的一端到离此阱二分之一的距离内粒子出现的概率是多少？
解：
1dv
2A
a
1 ( ) s in
xxA
a
/2
22
0
2s i na xP A d x
aa
对应原理在某些 极限 的条件下，量子规律可以 转化 为经典规律,
2
2
1 8)12( ma
hnEEE
nn
势阱中相邻 能级 之 差
21,1 amE
能量 ),3,2,1(,
8 2
2
2 n
ma
hnE
n
能级 相对 间隔
nma
hn
ma
hn
E
E
n
n 2
88
2 2
2
2
2
2
当 时，,能量视为 连续 变化,n 0)(
nn EE
例,电子在 的势阱中,m100.1 2a
eV1054.7
8
2 152
2
n
ma
hnE （ 近似于连续 ）
当 时,（ 能量分立 ） eV4.75nm10.0 nEa
当 很大时，,量子效应不明显，能量可视为 连续 变化，此即为 经典对应,
amn,,0 E
物理意义
eV1077.3
8
152
2
2
2 n
ma
hnE
16.6.5 一维散射问题
1．梯形势
0,
0,0)(
0 xU
xxU
2
02
2
)(2
EUmk
0)()(:0 2222 xkxx
2
2
1
2
mEk?
0)()(:0 1211 xkxx
薛定谔方程：
通解：
xkDexkCex
xik
Be
xik
Aex
22
2
11
1
)(
)(
0)(2 x? 0?D特解：
xikBexikAex 11
1 )(
xkCex 2
2 )(
（ E?U＝ U0,衰减解）
电子逸出金属表面的模型
)0(22 EUma
eT
(E?U＝ 0,振动解）
2.隧道效应（势垒贯穿）
3.扫描隧道显微镜
SAUeI
48 个 Fe 原 子 形 成
,量子围栏,,围栏中的 电子形成驻波,
隧道电流 I与样品和针尖间距离 S的关系
§ 16.6.6 一维谐振子一,势函数
222
2
1
2
1)( xmkxxU
m— 振子质量,?— 固有频率,x— 位移二,哈密顿量
22
2
22
2
1
2
xm
dx
d
mH
三,定态薛定谔方程
0)()21(2)( 222 xxmEmx
1.能量本征值
),2,1,0()21()21( nhnnE n
能量量子化
能量间隔?h
最低能量 (零点能 ) 0210E
2(x)
x
2,本征函数和概率密度四,与经典谐振子的比较
1.基态位置概率分布
量子：在 x=0处概率最大
222
00 )()(
xexxW?
经典：在 x=0处概率最小
2.符合玻尔对应原理
n? 量子概率分布?经典概率分布
能量量子化?能量取连续值
nmnm dxxx,
* )()(
3.本征函数系的正交性
