16.7 量子力学对氢原子问题的处理一、氢原子的薛定谔方程氢原子带电系统的势能为：
其定态薛定谔方程为,
V = 4πε re
2
o
代替直角坐标 （ x,y,z)用球坐标 φr( )θ,,
0
0
2
2
2
4
82
r
e
h
m E
x
y
z
θ
φ
r
电子原子核在球坐标中的薛定谔方程为：
θ φx =r sin cos
θy =r sin sinφ
cosz = θr
( r,电子到核的距离 ）
设波函数为,?
代入上述球坐标下的薛定谔方程,用分离变量法求解,
在求解过程中,根据波函数必须满足的标准化条件,自然地 (而不是作为假设条件提出 ) 得出了量子化的结果,
2
2
2 2 2
0
2
2
1 2 1 ( 1 )
( ) [ ( ) ] 0
4
1
( sin ) [ ( 1 ) ] 0
sin sin
l
d d R m e l l
r E R
r d r d r r r
mdd
ll
dd
方位角满足的方程其通解,
由于波函数必须是单值的
A 由归一化条件求出,1
2
A
二,三个量子数
1、能量量子化和主量子数求解波函数的径向部分方程，得到
n:主量子数
2、角动量量子化和角量子数求解波函数的角函数方程和径向方程,得到
4
2 2 2 2
0
11
( ) 1 3,6,1,2,3,.,,,
8n
me
E e V n
n h n?
角动量量子数
3、空间量子化和磁量子数求解波函数的角函数部分方程,发现角动量做为一个 矢量在空间的方位也是量子化的
(磁量子数 )
空间量子化的实验证明 ∶ 1896年,塞曼发现在磁场中谱线 分裂的现象 - 正常塞曼效应无磁场时的谱线在磁场中谱线的分裂 ν 0
p
s
l =1
l = 0
无磁场
ν 0
1
1
0
ml弱磁场氢原子内电子的状态
n =1
n =2
n =3
n =4
n =5
n =6
l = 0 l =1 l = 5l = 4l = 3l = 2
( s ) ( p ) ( h )( g )( f )( d )
1s
5f5d5p5s
6s 6p 6d 6f 6g 6h
4s
3s 3p
4f
3d
4p 4d
5g
2p2s
氢原子定态的波函数为：
r,ψ θ φ R Φ（ ）,= ( ) ((r)Θ θ φn l ml,,n l ml,l ml,)
其中 R (r)n l,2 给出不同 处的几率密度。r
( )Θ θl ml,2 给出不同 处的几率密度。θ
Φ (φml ) 2 给出不同 处的几率密度。φ
决定的定态，电子出现的几率对于由 n l ml,,
r,ψ θ φ（ ）,n l ml,,2
密度为：
五、氢原子的电子云
R (r)n 2R (r)n 2
a02 a03 a06 a09a0 r r0 0
1s 2s
R (r)n 2
a06 a012 a018 r0
3s
电子的 图线R (r)n l,2 ~ r
电子径向概率分布电子角向概率分布
Wlm（?,? )是电子出现在相应立体角内的概率密度
z
O
w00
l=0,ml=0
z
w10
l=1,ml=0
z
w1± 1
l=1,ml=± 1
1921年，施忒恩 （ O.Stern） 和盖拉赫 （ W.Gerlach）
发现一些处于 S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
N
S
准直屏原子炉磁 铁
16.8 电子的自旋
S
2= s +s 1( )S h
3 h=
Sz =m
sh
1
2
+ 12
Sz
h
z
电子自旋及空间量子化
( 1 )
zs
S s s
Sm
11
,
22
ssm
多电子原子中的电子分布一、元素性质的周期性俄国化学科学家门捷列夫 1869年发现，将元素按原子量的大小次序排列起来，它们的性质会显示出周期性的变化。
原子电离能随原子序数 Z变化，电离能峰值所对应的 Z值历史上称为幻数,2,10,18,36,54,86等，幻数的存在，预示着元素周期性变化的更深层次的实质 -原子中电子的壳层结构。
玻尔是元素周期律发现之后从物理上予以解释的第一人。周期性由电子在各轨道上排布所引起。
二、原子中电子的壳层结构用四个量子数（ n,l,ml,ms）描述1,主量子数 n = 1,2,3,...
决定电子在原子中的能量
2,角量子数 l =1,2,3,..,n( )1
决定电子绕核运动的角动量 L l +l 1( )= h
3,磁量子数 m l 0,1,2,...,+ + += l
决定电子绕核运动角动量的空间取向 hL
z ml=
4,自旋量子数 m s= + 12
决定电子自旋角动量的空间取向 S z= m sh
1、泡利不相容原理 (1924年 )
电子排布遵循两原则：
任何两个电子不可能有有完全相同的一组量子数
（ n,l,ml,ms).
泡利（ 1900-1958）瑞士籍奥地利物理学家，因发现
,泡利不相容原理,而获得 1945年的诺贝尔物理学奖。
当 n,l,ml给定时，可能容纳 2个量子态。
当 n,l给定时，可能容纳 2（ 2l+1)个量子态。
当 n给定时，可能容纳量子态
2、能量最小原理当 n=1时,l=0,ml=0,
2
1
sm
21s习惯写为当 n=2时,l=0,ml=0,
2
1
sm
习惯写为
22s
l=1,ml=0,
2
1
sm
1?
习惯写为
62p
｝ 8个｛
在原子系统内，每个电子趋向占有最低能级。 -稳定排列次序,1s,2s,2p,3s,3p,4s,3d,4p,5s,4d,……
其定态薛定谔方程为,
V = 4πε re
2
o
代替直角坐标 （ x,y,z)用球坐标 φr( )θ,,
0
0
2
2
2
4
82
r
e
h
m E
x
y
z
θ
φ
r
电子原子核在球坐标中的薛定谔方程为：
θ φx =r sin cos
θy =r sin sinφ
cosz = θr
( r,电子到核的距离 ）
设波函数为,?
代入上述球坐标下的薛定谔方程,用分离变量法求解,
在求解过程中,根据波函数必须满足的标准化条件,自然地 (而不是作为假设条件提出 ) 得出了量子化的结果,
2
2
2 2 2
0
2
2
1 2 1 ( 1 )
( ) [ ( ) ] 0
4
1
( sin ) [ ( 1 ) ] 0
sin sin
l
d d R m e l l
r E R
r d r d r r r
mdd
ll
dd
方位角满足的方程其通解,
由于波函数必须是单值的
A 由归一化条件求出,1
2
A
二,三个量子数
1、能量量子化和主量子数求解波函数的径向部分方程，得到
n:主量子数
2、角动量量子化和角量子数求解波函数的角函数方程和径向方程,得到
4
2 2 2 2
0
11
( ) 1 3,6,1,2,3,.,,,
8n
me
E e V n
n h n?
角动量量子数
3、空间量子化和磁量子数求解波函数的角函数部分方程,发现角动量做为一个 矢量在空间的方位也是量子化的
(磁量子数 )
空间量子化的实验证明 ∶ 1896年,塞曼发现在磁场中谱线 分裂的现象 - 正常塞曼效应无磁场时的谱线在磁场中谱线的分裂 ν 0
p
s
l =1
l = 0
无磁场
ν 0
1
1
0
ml弱磁场氢原子内电子的状态
n =1
n =2
n =3
n =4
n =5
n =6
l = 0 l =1 l = 5l = 4l = 3l = 2
( s ) ( p ) ( h )( g )( f )( d )
1s
5f5d5p5s
6s 6p 6d 6f 6g 6h
4s
3s 3p
4f
3d
4p 4d
5g
2p2s
氢原子定态的波函数为：
r,ψ θ φ R Φ（ ）,= ( ) ((r)Θ θ φn l ml,,n l ml,l ml,)
其中 R (r)n l,2 给出不同 处的几率密度。r
( )Θ θl ml,2 给出不同 处的几率密度。θ
Φ (φml ) 2 给出不同 处的几率密度。φ
决定的定态，电子出现的几率对于由 n l ml,,
r,ψ θ φ（ ）,n l ml,,2
密度为：
五、氢原子的电子云
R (r)n 2R (r)n 2
a02 a03 a06 a09a0 r r0 0
1s 2s
R (r)n 2
a06 a012 a018 r0
3s
电子的 图线R (r)n l,2 ~ r
电子径向概率分布电子角向概率分布
Wlm（?,? )是电子出现在相应立体角内的概率密度
z
O
w00
l=0,ml=0
z
w10
l=1,ml=0
z
w1± 1
l=1,ml=± 1
1921年，施忒恩 （ O.Stern） 和盖拉赫 （ W.Gerlach）
发现一些处于 S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
N
S
准直屏原子炉磁 铁
16.8 电子的自旋
S
2= s +s 1( )S h
3 h=
Sz =m
sh
1
2
+ 12
Sz
h
z
电子自旋及空间量子化
( 1 )
zs
S s s
Sm
11
,
22
ssm
多电子原子中的电子分布一、元素性质的周期性俄国化学科学家门捷列夫 1869年发现，将元素按原子量的大小次序排列起来，它们的性质会显示出周期性的变化。
原子电离能随原子序数 Z变化，电离能峰值所对应的 Z值历史上称为幻数,2,10,18,36,54,86等，幻数的存在，预示着元素周期性变化的更深层次的实质 -原子中电子的壳层结构。
玻尔是元素周期律发现之后从物理上予以解释的第一人。周期性由电子在各轨道上排布所引起。
二、原子中电子的壳层结构用四个量子数（ n,l,ml,ms）描述1,主量子数 n = 1,2,3,...
决定电子在原子中的能量
2,角量子数 l =1,2,3,..,n( )1
决定电子绕核运动的角动量 L l +l 1( )= h
3,磁量子数 m l 0,1,2,...,+ + += l
决定电子绕核运动角动量的空间取向 hL
z ml=
4,自旋量子数 m s= + 12
决定电子自旋角动量的空间取向 S z= m sh
1、泡利不相容原理 (1924年 )
电子排布遵循两原则：
任何两个电子不可能有有完全相同的一组量子数
（ n,l,ml,ms).
泡利（ 1900-1958）瑞士籍奥地利物理学家，因发现
,泡利不相容原理,而获得 1945年的诺贝尔物理学奖。
当 n,l,ml给定时，可能容纳 2个量子态。
当 n,l给定时，可能容纳 2（ 2l+1)个量子态。
当 n给定时，可能容纳量子态
2、能量最小原理当 n=1时,l=0,ml=0,
2
1
sm
21s习惯写为当 n=2时,l=0,ml=0,
2
1
sm
习惯写为
22s
l=1,ml=0,
2
1
sm
1?
习惯写为
62p
｝ 8个｛
在原子系统内，每个电子趋向占有最低能级。 -稳定排列次序,1s,2s,2p,3s,3p,4s,3d,4p,5s,4d,……
