1
第二节 数学建模简介与建立函数关系举例
习题 1-2
1,设一正圆锥体高为 H,底半径为 R,现有一正圆柱体内接于该圆锥体,已知正圆柱体的底半径为 r,试将该圆柱体的高 h 与体积 V 表示成 r 的函数,
解 由
Hh r
HR
= 得,()
H
hRr
R
=?;
22
ππ()
H
Vrh Rrr
R
==?,
2,有一长 1m的细杆 (记作 OAB ),OA段长 0.5 m,其线密度 (单位长度细杆的质量 )为 2 kg /m; AB 段长 0.5 m,其线密度为 3kg /m,设 P 是细杆上任意一点,OP 长为 x,质量为 m,求 ()mfx= 的表达式,
解 当 00.5x≤≤ 时,( ) 2f xx= ; 当 0.5 1x< ≤ 时,( ) 2 0.5 3( 0.5)fx x= ×+? 1=
3( 0.5)x+?,
故
2,0 0.5,
()
13( 0.5),0.5 1.
xx
mfx
≤≤?
==
+? <≤
3,邮局规定国内的平信,每 20g 付邮资 0.80 元,不足 20g 按 20g 计算,信件重量不得超过 2kg,试确定邮资 y 与重量 x 的关系,
解 由题意,易知,
当 020x<≤ 时,0.80y = ; 当 20 40x< ≤ 时,2 0.80 1.60y = ×=; 当 40 60x<≤
时,3 0.80 2.40y =× = ;" 当 1980 2000x< ≤ 时,100 0.80 80.00y = ×=,
故
0.80,0 20,
1.60,20 40,
2.40,40 60,
,
80.00,1980 2000.
x
x
yx
x
<≤?
<≤
=<≤
<≤?
""
4,有一身高为 (m)a 的人在距路灯杆 (m)b 处沿直线以 (m/s)c 朝远离灯杆的方向匀速行走,假设路灯高为 (m)( )hha>,求人影的影长 s 与时间 t 的关系,
解 由题意
()
as
hsctb
=
++
,故
()act b
s
ha
+
=
,
5,已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角 40? =
D
(如下图 ),当过水断面 ABCD
的面积为定值
0
S 时,求湿周 L ( LABBCCD= ++)与水深 h 之间的函数关系式,并指明其定义域,
2
N
P
R
F
α
2 4 6 8 10 12 14 t/s
v/(m/s)
70
50
30
10
O
-20
-40
解 因为 sin 40 sin 40hAB CD==
DD
,
故
sin 40
h
AB CD==
D
,
由梯形面积公式可得,
0
1
()
2
S h BC AD=+,
故
0
1
((2cot40)
2
ShBCBC h=++?
D
,
可得
0
cot 40
S
BCh
h
=
D
,
所以
00
22cos40
cot 40
sin 40 sin 40
SSh
LABBCCD h h
hh
=++= +=+
D
D
DD
,
h 的取值范围由下述不等式组确定
解之得所求定义域为
0
(0,tan 40 )S
D
,
6,已知一物体与地面的摩擦系数是 μ,重量是
P,设有一与水平方向成 α 角的拉力 F,使物体从静
止开始移动 (见右图 ),求物体开始移动时拉力 F 与角
α 之间的函数关系式,
解 用 F 表示拉力 F 的大小,所以
cos ( sin )FPθ μα=?,
故
cos sin
P
F
μ
α μα
=
+
,
7,当一模型火箭发射时,推进器燃烧数秒,使火箭向上加速,当燃烧结束后,
火箭再向上升了一会,便向地面自由下落,当火箭开始下降一段短时间后,火箭张开一个降落伞,降落伞使得火箭下降速度减慢,以免着陆破裂,下图所示为此火箭飞行时的速度数据,
试利用此图回答下列问题,
(1) 当推进器停止燃烧时,火箭上升的
速度是多少?
(2) 推进器燃烧了多久?
(3) 火箭什么时候达到最高点? 此时速
度是多少?
(4) 降落伞何时张开? 当时火箭的下降
速度是多少?
0
0,
cot 40 0,
h
S
h
h
>?
>
D
b
D
Φ 40=
D
A
h
▼
B
C
3
(5) 在张开降落伞之前,火箭下降了多长时间?
解 (1) 由图易知,推进器停止燃烧时,火箭速度最大,应为 50 m/s,
(2) 推进器燃烧了 2s,
(3) 火箭在 8s 时达到最高点,此时速度为 0 m/s,
(4) 降落伞在第 12s 张开,此时火箭的下降速度为 40? m/s,
(5) 在张开降落伞之前,火箭下降了 12 8 4? = (s),
8,假设质点以初速度
0
600m/sv = 沿与水平面成 45θ =
D
角的方向射出,试画出
质点运动轨迹的图形,并求质点的射程及最大升高的高度 (设
2
10m/sg ≈,空气阻力忽略不计 ),
解 以质点起始位置为坐标原点,水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系,设 t 时刻质点的横坐标为 x,纵坐标为 y,则有
0
π
(cos)
4
x vt=,
2
0
π 1
(sin)
42
yv t gt=?,
消去 t,得
2
2
0
gx
yx
v
=?,即
2
36000
x
yx=?,
此即质点运动轨迹,图形如图 1.4,
易知质点射程为 36000 m,最大升高为 9000 m,
9000
y
2
36000
x
yx=?
36000
x
O
图 1.4