1
第三节 极限的概念
习题 1-3
1,观察下列数列的变化趋势,指出它们是否有极限,若有极限,请写出其极限,
(1)
1
1
(1)
n
n
x
n
=? ; (2)
1
(1)
n
n
x
n
=;
(3)
1
1
n
n
x
n
=
+; (4)
π
sin
2
n
n
x = ;
(5)
1
cos
π
n
x
n
= ; (6)
1
ln
n
x
n
= ;
(7) 0.1,0.11,0.111,,null
null
0.11 1
n
null
个
,.null
解 (1) 有极限,极限为0,(2) 不存在极限,
(3) 有极限,极限为1,(4) 不存在极限,
(5) 有极限,极限为1,(6) 不存在极限(lim
n
n
x
→∞
=?∞),
(7) 有极限,极限为
1
9
,
2,用数列极限的定义证明
(1)
2
4
lim 1
n
n
n
→∞
+
= ; (2)
1
lim 0( 0)
n
n
α
α
→∞
= >,
解 (1)
22
2
4444
1
(4)
nnn
n
nn n
++?
= = <
++
,
要使
2
4
1
n
n
ε
+
<,只要
4
n
ε<,即
4
n
ε
>,
于是,0,ε?>取
4
[]N
ε
=,只要nN>,就有
2
4
1
n
n
ε
+
<,所以
2
4
lim
n
n
n
→∞
+
1=,
2
(2)
11
0
nn
αα
ε?= <,只要
1
(0)n
α
α
ε
>>,
于是,0,ε?>取
1
[]N
α
ε
=,只要nN>,就有
1
0
n
α
ε? <,所以
1
lim
n
n
α
→∞
0=
(0)α >,
3,设lim
n
n
x a
→∞
=,证明lim
n
n
x a
→∞
=,并举例说明反之未必成立,
证
nn
x axa? ≤?∵,故0ε? >,欲使
n
xaε? <,只要
n
xaε? <,
由lim
n
n
x a
→∞
=知,对0ε?>,N?,当nN>时,
n
xaε? <,从而
n
x a?
ε<,故lim
n
n
x a
→∞
=,
反之未必成立,例如:(1)
n
n
x =?,显然有lim 1
n
n
x
→∞
=,但lim
n
n
x
→∞
不存在,
4,设数列{ }
n
x有界,又lim 0
n
n
y
→∞
=,证明lim 0
nn
n
xy
→∞
=,
证 由数列{ }
n
x有界,故存在0M >,使
n
x M≤,对一切n都成立,
0ε?>,因为lim 0
n
n
y
→∞
=,所以对于
1
0
M
ε
ε = >,N?,当nN>时,就有
1n
y
M
ε
ε<=,于是0
nn n n
xy x y M
M
ε
ε?=? <? =,故lim 0
nn
n
xy
→∞
=,
5,用函数极限的定义证明
(1)
2
1
2
14
lim 2
21
x
x
x
→?
=
+; (2)
sin 2
lim 0
x
x
x
→+∞
=,
证 (1)
2
14 1
2212 ()
21 2
x
xx
x
= +=
+
,
要使
2
14
2
21
x
x
ε
<
+
,只要
1
2()
2
x ε<,即
1
()
22
x
ε
<,
于是,0,ε?>
2
ε
δ?=,当
1
0()
22
x
ε
< <时,就有
2
14
2
21
x
x
ε
<
+
,故
2
1
2
14
lim 2
21
x
x
x
→?
=
+
,
3
(2)
sin 2 1
0
x
x x
≤,
要使
1
x
ε<,只要
2
1
x
ε
>,
于是,0,ε?>取
2
1
X
ε
=,当x X>时,就有
sin 2
0
x
x
ε? <,故
sin 2
lim 0
x
x
x
→+∞
=,
6,证明,若x→+∞及x→?∞时,函数()f x的极限都存在且都等于A,则
lim ( )
x
f xA
→∞
=,
证 由lim ( )
x
f xA
→+∞
=,得0,ε?>
1
0X? >,当
1
x X>时,就有()fx A ε?<;
再由lim ( )
x
f xA
→?∞
=,得对上述0,ε >
2
0X? >,当
2
x X<?时,就有()f xA?
ε<,
取
12
max{,}XXX=,则当x X>时,有x X>或x X<?,故()fx A ε?<,
即lim ( )
x
f xA
→∞
=,
7,证明,
0
lim ( )
xx
f x
→
存在的充分必要条件是()f x在
0
x处的左、右极限均存在且相等,
证 必要性,
如果
0
lim ( )
xx
f x
→
存在,不妨设
0
lim ( )
xx
f xA
→
=,则0ε? >,0δ? >,只要0 <
0
x x? δ<,就有()fx A ε?<,特别的,
当
0
0 xx δ<? <时,有()fx A ε? <,所以
0
lim ( )
xx
f xA
+
→
= ;
当
0
0xxδ?<? <时,有()fx A ε? <,所以
0
lim ( )
xx
f xA
→
=,
充分性,
若
00
lim ( ) lim ( )
xx xx
f xA fx
+?
→→
==,则0ε? >,
1
0δ? >,只要
01
0 xx δ<?<,就有
()fx A ε?<,
2
0δ?>,只要
20
0xxδ?<?<,就有()fx A ε? <,取
12
min{,}δ δδ=,
4
只要0 <
0
x x? δ<,就有()fx A ε? <,故
0
lim ( )
xx
f xA
→
=,