第一章 多项式
§1 数域教学目的：使学生掌握数域的概念，并能熟练地验证教学重点：数域的定义与性质教学难点：数域的验证
教学过程：
一、数的历史：（略）
二、数的代数性质：关于数的加、减、乘、除等运算的性质。
数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的。
三、定义1 设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1。如果中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么就称为一个数域。
注：1、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，这三个数域分别用字母、、来代表。
2、如果数的集合中任意两个数作某一种运算的结果都仍在中，就说数集对这个运算是封闭的。因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么就称为一个数域。
3、由于对于减法是封闭的，且，故数域的定义也进一步说成，如果一个包含1在内的数集对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么就称为一个数域。
四、例子：
例1 所有具有形式

的数（其中是任何有理数），构成一个数域，通常用来表示这个数域。
解：1、显然，包括0与1，且对于加、减法是封闭的；
2、设，其中，则

因，故，对于乘法是封闭的。
3、设，其中，且，则？，得

因，故，对于除法是封闭的。
例2 所有可以表成形式对于加、减法是封闭的

的数组成一数域，其中为任意非负整数，是整数。
（课堂上学生验证）
例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的；的整数倍的全体组成的数集，对于加、减法是封闭的，但对于乘法不是封闭的。
五、性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。
证明：设是一个数域，则：
1、由数学归纳法，从对于加、减法是封闭的，可得包含全体整数。
2、每一个有理数都是两个整数的商，由对于除法是封闭的，可得包含全体有理数。
课程小结：1、数域的定义（强调对于四则运算的封闭性）
2、数域的性质（包含有理数域）