§4 多项式的最大公因式一,多项式的最大公因式如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式,
定义6 设与是中两个多项式,中多项式称为，的一个公因式,如果它满足下面两个条件：
1）是与的公因式；
2），的公因式全是的因式.
例如，对于任意多项式，就是与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.
引理 如果有等式
 (1)
成立，那么，和，有相同的公因式.
定理2 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使
,(2)
由最大公因式的定义不难看出，如果是，的两个最大公因式，那么一定有与，也就是说.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用
（，）
来表示首项系数是1的那个最大公因式.
定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).
例 设


求（，），并求使
.
注：定理2的逆不成立.例如令
,
则
.
但显然不是与的最大公因式.
但是当(2)式成立，而是与的一个公因式，则一定是与的一个最大公因式.
二、多项式互素定义7 中两个多项式，称为互素（也称为互质）的，如果

显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.
定理3 中两个多项式，互素的充要条件是有中多项式使
.
定理4 如果，且,那么
.
推论1 如果，且,那么
.
推论2 如果,,那么
推广：对于任意多个多项式，称为的一个最大公因式，如果具有下面的性质：
1）;
2）如果，那么.
我们仍用符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明的最大公因式存在，而且当全不为零时，

就是的最大公因式，即
=
同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式,使

如果，那么就称为互素的.同样有类似定理3的结论.
注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如,但,且.
2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如,,
,则,但.
注意: 个多项式互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式

是互素的,但.
令是含的一个数域,是的多项式与在中的首项系数为1的最大公因式,而是与在中首项系数为1的最大公因式,那么.
即从数域过渡到数域时,与的最大公因式本质上没有改变.
互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：
1)若多项式与
互素，则.
2) 若多项式都整除，且两两互素，则.
3) 若多项式都与互素，则
.