§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.
一、整除的概念带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使
 (1)
成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.
带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式.
定义5 数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式

成立.用“”表示整除，用“”表示不能整除.
当时，就称为的因式，称为的倍式.
当时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.
定理1 对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充要条件是除的余式为零.
带余除法中必须不为零.但中，可以为零.这时.
当时，如，除的商有时也用

来表示.
二、整除的性质
1,任一多项式一定整除它自身.
2,任一多项式都能整除零多项式0.
3,零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.
4,若，则,其中为非零常数.
5,若，则（整除的传递性）.
6,若，则
,
其中是数域上任意的多项式.
通常，称为的一个组合.
由以上性质可以看出，与它的任一个非零常数倍有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替.
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若，是中两个多项式，是包含的一个较大的数域.当然，，也可以看成是中的多项式.从带余除法可以看出，不论把，看成是中或者是中的多项式，用去除所得的商式及余式都是一样的.因此，若在中不能整除，则在中，也不能整除.
例1 证明若，则

例2 求，使,
例3 若，则.