§7 多项式函数
到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.
一、多项式函数设
 (1)
是中的多项式，是中的数，在(1)中用代所得的数

称为当时的值,记为.这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.
因为在与数域中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果

那么

定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值.
如果在时函数值，那么就称为的一个根或零点.
由余数定理得到根与一次因式的关系.
推论 是的根的充要条件是.
由这个关系，可以定义重根的概念,称为的重根，如果是的重因式.当时，称为单根；当时，称为重根.
定理8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.
二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有
,
而对于中所有的数都有
?
由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.
定理9 如果多项式,的次数都不超过,而它们对n+1个不同的数有相同的值即
,
,那么=.
因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.
三、综合除法根据余数定理,要求当时的值,只需用带余除法求出用除 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.
设

并且设
,(2)
其中

比较等式(2)中两端同次项的系数.得到
  
这样,欲求系数,只要把前一系数乘以再加上对应系数,而余式也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:

表中的加号通常略去不写.
例1 用除.
例2 求使能被整除注意,若缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.
四、拉格朗日插值公式已知次数的多项式在 的值.设

依次令代入,得
 
这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.
例3 求次数小于3的多项式,使
.
下面介绍将一个多项式表成一次多项式的方幂和的方法.所谓次多项式表成的方幂和，就是把表示成

的形式.如何求系数，把上式改写成
,
就可看出就是被除所得的余数，而

就是被除所得的商式.又因为
.
又可看出是商式被除所得的余式，而
.
就是被除所得商式.这样逐次用除所得的商式，那么所得的余数就是.
例4 将展开成的多项式.
解 令，则.于是
.
问题变为把多项式表成（即）的方幂和,
-2 | 1 2 -3 1 5
+) -2 0 6 -14
-------------------------------------------------------
-2 | 1 0 -3 7 | -9
+) -2 4 -2
------------------------------------------------------
-2 | 1 -2 1 | 5
+) -2 8
-----------------------------------------------
-2 | 1 -4 | 9
+) -2
----------------------------------
1 | -6
所以
.
注意：将表成的方幂和，把写在综合除法的左边，将的方幂和展开成的多项式，那么相当于将表成的方幂和，要把写在综合除法的左边.