§6 行列式按一行(列) 展开在§4看到，对于级行列式，有
,(1)
现在来研究这些,究竟是什么.
三级行列式可以通过二级行列式表示：
,(2)
定义7 在行列式

中划去元素所在的第行与第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个级行列式
 (3)
称为元素的余子式，记作
下面证明
,(4)
为此先证明级行列式与级行列式的下面这个关系，
,（5）
定义8 上面所谈到的称为元素的代数余子式.
这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第行的元素等于另外一行，譬如说，第行的元素，也就是

于是

右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零.
定理3 设

表示元素的代数余子式，则下列公式成立：
  (6)
 (7)
用连加号简写为
 
在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个级行列式的计算换成个()级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.
例1 计算行列式

例2 行列式
 (8)
称为级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的，级范德蒙德行列式等于这个数的所有可能的差的乘积.
用连乘号，这个结果可以简写为
.
由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是这个数中至少有两个相等.
例3 证明
.