§4 矩阵的秩一、矩阵的秩如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例如，矩阵

的行向量组是

它的秩是3.它的列向量组是

它的秩也是3.
矩阵的行秩等于列秩，这点不是偶然的.
引理 如果齐次线性方程组
 （1）
的系数矩阵

的行秩，那么它有非零解.
定理4 矩阵的行秩与列秩相等.
因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.
二、矩阵的秩与行列式的联系定理5 矩阵

的行列式为零的充要条件是的秩小于.
推论 齐次线性方程组

有非零解的充要条件是它的系数矩阵

的行列式等于零.
定义16 在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的级行列式，称为的一个级子式.
在定义中，当然有，这里表示中较小的一个.
定理6 一矩阵的秩是的充要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.
从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵的秩的充要条件为有一个级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩的充要条件为的所有级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为的矩阵中，不为零的级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.
三、矩阵的秩的计算在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.
首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩.
其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.
上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.
以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.
例 利用初等变换求下面矩阵的秩：
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