§3 线性相关性一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。
一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使
.
定义9 向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数，使
,
其中叫做这个线性组合的系数.
例如，任一个维向量都是向量组
（1）
的一个线性组合.
向量称为维单位向量.
零向量是任意向量组的线性组合.
当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经向量组线性表出.
定义10 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.
由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组可以经向量组线性表出.
向量组之间等价具有以下性质：
1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.
2）对称性：如果向量组与等价，那么向量组与等价.
3）传递性：如果向量组与等价，与等价，那么向量组与等价.
定义11 如果向量组中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组线性相关,
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组线性相关就表示或者(这两个式子不一定能同时成立).在为实数域，并且是三维时，就表示向量与共线.三个向量线性相关的几何意义就是它们共面.
定义11′向量组称为线性相关的，如果有数域中不全为零的数，使
这两个定义在的时候是一致的.
定义12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数，使
就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由
可以推出
由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量,
定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形,单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.
不难看出，由维单位向量组成的向量组是线性无关的.
具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组
(2)
是否线性相关，根据定义11，就是看方程
(3)
有无非零解.(3)式按分量写出来就是
(4)
因之，向量组线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.
例1 判断的向量
是否线性相关。
例2 在向量空间里，对于任意非负整数
线性无关.
例3 若向量组线性无关，则向量组也线性无关.
从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的维的向量组
(5)
也线性无关.
定理2 设与是两个向量组.如果
1）向量组可以经线性表出，
2） ，
那么向量组必线性相关.
推论1 如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么.
推论2 任意个维向量必线性相关.
推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.
定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果，那么可以由向量线性表出的向量当然都在所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当时，这些向量线性相关.两个向量组与等价，就意味着它们在同一平面上.
二、极大线性无关组定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.
极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
例4 看的向量组
在这里｛｝线性无关，而，所以｛｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛｝，｛｝也都是向量组｛｝的极大线性无关组.
由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.
定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.
每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.
含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.
现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组
各个方程所对应的向量分别是
.设有另一个方程
它对应的向量为.则是的线性组合，当且仅当，即方程(B)是方程 的线性组合.容易验证，方程组的解一定满足(B).进一步设方程组
它的方程所对应的向量为.若可经线性表出，则方程组的解是方程组的解.再进一步，当与等价时，两个方程组同解.
例5 （1）设线性无关，证明也线性无关；对个线性无关向量组，以上命题是否成立？
（2）当线性无关，证明也线性无关，当线性无关时，是否也线性无关？
例6 设在向量组中，且每个都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关.
一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使
.
定义9 向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数，使
,
其中叫做这个线性组合的系数.
例如，任一个维向量都是向量组
（1）
的一个线性组合.
向量称为维单位向量.
零向量是任意向量组的线性组合.
当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经向量组线性表出.
定义10 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.
由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组可以经向量组线性表出.
向量组之间等价具有以下性质：
1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.
2）对称性：如果向量组与等价，那么向量组与等价.
3）传递性：如果向量组与等价，与等价，那么向量组与等价.
定义11 如果向量组中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组线性相关,
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组线性相关就表示或者(这两个式子不一定能同时成立).在为实数域，并且是三维时，就表示向量与共线.三个向量线性相关的几何意义就是它们共面.
定义11′向量组称为线性相关的，如果有数域中不全为零的数，使
这两个定义在的时候是一致的.
定义12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数，使
就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由
可以推出
由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量,
定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形,单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.
不难看出，由维单位向量组成的向量组是线性无关的.
具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组
(2)
是否线性相关，根据定义11，就是看方程
(3)
有无非零解.(3)式按分量写出来就是
(4)
因之，向量组线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.
例1 判断的向量
是否线性相关。
例2 在向量空间里，对于任意非负整数
线性无关.
例3 若向量组线性无关，则向量组也线性无关.
从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的维的向量组
(5)
也线性无关.
定理2 设与是两个向量组.如果
1）向量组可以经线性表出，
2） ，
那么向量组必线性相关.
推论1 如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么.
推论2 任意个维向量必线性相关.
推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.
定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果，那么可以由向量线性表出的向量当然都在所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当时，这些向量线性相关.两个向量组与等价，就意味着它们在同一平面上.
二、极大线性无关组定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.
极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
例4 看的向量组
在这里｛｝线性无关，而，所以｛｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛｝，｛｝也都是向量组｛｝的极大线性无关组.
由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.
定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.
每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.
含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.
现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组
各个方程所对应的向量分别是
.设有另一个方程
它对应的向量为.则是的线性组合，当且仅当，即方程(B)是方程 的线性组合.容易验证，方程组的解一定满足(B).进一步设方程组
它的方程所对应的向量为.若可经线性表出，则方程组的解是方程组的解.再进一步，当与等价时，两个方程组同解.
例5 （1）设线性无关，证明也线性无关；对个线性无关向量组，以上命题是否成立？
（2）当线性无关，证明也线性无关，当线性无关时，是否也线性无关？
例6 设在向量组中，且每个都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关.
