§3 矩阵乘积的行列式与秩定理1 设是数域上的两个矩阵，那么
,(1)
即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
用数学归纳法，定理1可以推广到多个因子的情形，即有推论1 设是数域上的矩阵，于是
定义6 数域上的矩阵称为非退化的，如果，否则称为退化的.
显然一矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于.
推论2 设是数域上矩阵，矩阵为退化的充要条件是中至少有一个是退化的.
定理2 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是
,(2)
即乘积的秩不超过各因子的秩.
用数学归纳法，定理2可以推广到多个因子的情形，即有推论3 如果，那么
.
,(1)
即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
用数学归纳法，定理1可以推广到多个因子的情形，即有推论1 设是数域上的矩阵，于是
定义6 数域上的矩阵称为非退化的，如果，否则称为退化的.
显然一矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于.
推论2 设是数域上矩阵，矩阵为退化的充要条件是中至少有一个是退化的.
定理2 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是
,(2)
即乘积的秩不超过各因子的秩.
用数学归纳法，定理2可以推广到多个因子的情形，即有推论3 如果，那么
.
