§4 正定二次型一、正定二次型定义4 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有.
实二次型
是正定的当且仅当.
设实二次型
(1)
是正定的，经过非退化实线性替换
(2)
变成二次型
(3)
则的二次型也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数都有.
因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换
变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变.
二、正定二次型的判别定理6 实数域上二次型是正定的它的正惯性指数等于.
定理6说明，正定二次型的规范形为
(5)
定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型
正定.
因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.
推论 正定矩阵的行列式大于零.
定义6 子式
称为矩阵的顺序主子式.
定理7 实二次型
是正定的矩阵的顺序主子式全大于零.
例 判定二次型
是否正定.
定义7 设是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的.
由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.
定理8 对于实二次型，其中是实对称的，下列条件等价：
（1）是半正定的；
（2）它的正惯性指数与秩相等；
（3）有可逆实矩阵，使
其中；
（4）有实矩阵使
.
（5）的所有主子式皆大于或等于零；
注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如
就是一个反例.
证明 Th8, 设的主子式全大于或等于零，是的级顺序主子式，是对应的矩阵
其中是中一切级主子式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.
若不是半正定矩阵，则存在一个非零向量，使
令
与时是正定矩阵矛盾，故是半正定矩阵.
Th8 记的行指标和列指标为的级主子式为，对应矩阵是，对任意，有,其中
又是半正定矩阵,从而 .
若，则P234,12T，存在使与矛盾，所以.
◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.
◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.
证明 是实对称矩阵，令，则是维实向量
是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.
◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.
证明 由于正定，存在可逆矩阵，使,
,从而为正定矩阵.
正定又正定，,正定,正定.
对称当时，,从而正定.
当时,
所以与合同，因而正定.
实二次型
是正定的当且仅当.
设实二次型
(1)
是正定的，经过非退化实线性替换
(2)
变成二次型
(3)
则的二次型也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数都有.
因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换
变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变.
二、正定二次型的判别定理6 实数域上二次型是正定的它的正惯性指数等于.
定理6说明，正定二次型的规范形为
(5)
定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型
正定.
因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.
推论 正定矩阵的行列式大于零.
定义6 子式
称为矩阵的顺序主子式.
定理7 实二次型
是正定的矩阵的顺序主子式全大于零.
例 判定二次型
是否正定.
定义7 设是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的.
由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.
定理8 对于实二次型，其中是实对称的，下列条件等价：
（1）是半正定的；
（2）它的正惯性指数与秩相等；
（3）有可逆实矩阵，使
其中；
（4）有实矩阵使
.
（5）的所有主子式皆大于或等于零；
注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如
就是一个反例.
证明 Th8, 设的主子式全大于或等于零，是的级顺序主子式，是对应的矩阵
其中是中一切级主子式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.
若不是半正定矩阵，则存在一个非零向量，使
令
与时是正定矩阵矛盾，故是半正定矩阵.
Th8 记的行指标和列指标为的级主子式为，对应矩阵是，对任意，有,其中
又是半正定矩阵,从而 .
若，则P234,12T，存在使与矛盾，所以.
◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.
◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.
证明 是实对称矩阵，令，则是维实向量
是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.
◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.
证明 由于正定，存在可逆矩阵，使,
,从而为正定矩阵.
正定又正定，,正定,正定.
对称当时，,从而正定.
当时,
所以与合同，因而正定.
