§2 标准形一、二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
,（1）
定理1 数域上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式.
易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，

反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：
定理2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使

成对角矩阵.
二次型经过非退化线性替换所变成的平方和称为的标准形.
例 化二次型

为标准形.
二、配方法
1.这时的变量替换为

令
,
则上述变量替换相应于合同变换

为计算，可令
.
于是和可写成分块矩阵
,
这里为的转置，为级单位矩阵.这样

矩阵是一个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使

为对角形，令
,
于是
,
这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是
.
2,但只有一个.
这时，只要把的第一行与第行互换，再把第一列与第列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取
行显然
.
矩阵

就是把的第一行与第行互换，再把第一列与第列互换.因此，左上角第一个元素就是，这样就归结到第一种情形.
3,但有一
与上一情形类似，作合同变换

可以把搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取
,
于是的左上角就是
,
也就归结到第一种情形.
4,
由对称性，也全为零.于是
,
是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使

成对角形.取
，
就成对角形.
例 化二次型

成标准形.