§2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义.
例1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.
10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算;
20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R×V3到V3的一个运算.
30 由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.
例2,数域上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.
定义1 令是一个非空集合，是一个数域.在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于中任意两个向量与,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的和,记为.在数域与集合的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域中任一个数与中任一个元素,在中都有唯一的一个元素与它们对应,称为与的数量乘积,记为.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么称为数域上的线性空间.
加法满足下面四条规则：:
1) ；
2) ；
3) 在中有一个元素0,,都有（具有这个性质的元素0称为的零元素）；
4) (称为的负元素).
数量乘法满足下面两条规则：
5) ;
6) ;
数量乘法与加法满足下面两条规则：
7) ;
8) 
在以上规则中，等表示数域中任意数；等表示集合中任意元素.
例3 数域上一元多项式环,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域上的线性空间.如果只考虑其中次数小于的多项式，再添上零多项式也构成数域上的一个线性空间，用表示.
例4 元素属于数域的矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域上的一个线性空间，用表示.
例5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.
例6数域按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.
例7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域上的线性空间:
1) 平面上全体向量所作成的集合,对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法:
.
2) 上次多项式的全体所作成的集合对于多项式的加法和数与多项式的乘法.
例8 设是正实数集,为实数域.规定
(即与的积),
⊙=(即的次幂),
其中.则对于加法⊕和数乘⊙作成上的线性空间.
二 线性空间的简单性质
线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母代表线性空间中的元素，用小写拉丁字母代表数域中的数.
1.零元素是唯一的.
2.负元素是唯一的.
3.
4.如果,那么或者.