§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设是数域上维线性空间.的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.
空间中任意一个向量可以被基线性表出，即有关系式
(1)
其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的像A,A,…，A之间也必然有相同的关系：
A=A（）
=A()+A()+…+A () (2)
上式表明，如果知道了基的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说
1,设是线性空间的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即
A=B,
那么A= B.
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2,设是线性空间的一组基，对于任意一组向量一定有一个线性变换?使
A=
定理1 设是线性空间的一组基，是中任意个向量.存在唯一的线性变换?使
A=
定义2 设是数域上维线性空间的一组基，A是中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
用矩阵表示就是
A（）=（A()，A?()，…,A()）
= (5)
其中
矩阵称为线性变换A在基下的矩阵.
例1 设是维线性空间的子空间的一组基，把它扩充为的一组基.指定线性变换A如下
如此确定的线性变换A称为子空间的一个投影.不难证明
A=A
投影A在基下的矩阵是
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域上的维线性空间的线性变换到数域上的矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个矩阵，这个对应具有以下性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和；
2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理2 说明数域上维线性空间的全体线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上一个线性空间，与数域上级方阵构成的线性空间同构.
定理3 设线性变换A在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是,则A在基下的坐标可以按公式
计算.
二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理4设线性空间中线性变换A在两组基
,(6)
(7)
下的矩阵分别为和从基（6）到（7）的过渡矩阵是，于是.
定理4 告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系.
定义3 设，为数域上两个级方阵，如果可以找到数域上的级可逆方阵，使得，就说相似于，记作.
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1,反身性：
2,对称性：如果，那么.
3,传递性：如果,,那么.
定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质.
如果,，那么
,
由此可知，如果，且是数域上一多项式，那么
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.
例2 设是数域上一个二维线性空间，是一组基，线性变换A在下的矩阵是
计算A在的另一组基下的矩阵，这里
空间中任意一个向量可以被基线性表出，即有关系式
(1)
其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的像A,A,…，A之间也必然有相同的关系：
A=A（）
=A()+A()+…+A () (2)
上式表明，如果知道了基的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说
1,设是线性空间的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即
A=B,
那么A= B.
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2,设是线性空间的一组基，对于任意一组向量一定有一个线性变换?使
A=
定理1 设是线性空间的一组基，是中任意个向量.存在唯一的线性变换?使
A=
定义2 设是数域上维线性空间的一组基，A是中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
用矩阵表示就是
A（）=（A()，A?()，…,A()）
= (5)
其中
矩阵称为线性变换A在基下的矩阵.
例1 设是维线性空间的子空间的一组基，把它扩充为的一组基.指定线性变换A如下
如此确定的线性变换A称为子空间的一个投影.不难证明
A=A
投影A在基下的矩阵是
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域上的维线性空间的线性变换到数域上的矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个矩阵，这个对应具有以下性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和；
2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理2 说明数域上维线性空间的全体线性变换组成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成上一个线性空间，与数域上级方阵构成的线性空间同构.
定理3 设线性变换A在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是,则A在基下的坐标可以按公式
计算.
二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理4设线性空间中线性变换A在两组基
,(6)
(7)
下的矩阵分别为和从基（6）到（7）的过渡矩阵是，于是.
定理4 告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系.
定义3 设，为数域上两个级方阵，如果可以找到数域上的级可逆方阵，使得，就说相似于，记作.
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1,反身性：
2,对称性：如果，那么.
3,传递性：如果,,那么.
定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质.
如果,，那么
,
由此可知，如果，且是数域上一多项式，那么
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.
例2 设是数域上一个二维线性空间，是一组基，线性变换A在下的矩阵是
计算A在的另一组基下的矩阵，这里
