§2 矩阵在初等变换下的标准形
矩阵也可以有初等变换定义3 下面的三种变换叫做矩阵的初等变换：
(1) 矩阵的两行（列）互换位置；
(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；
(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式.
和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第行的倍加到第行上得
仍用表示由单位矩阵经过第行第行互换位置所得的初等矩阵，用表示用非零常数乘单位矩阵第行所得的初等矩阵.同样地，对一个的矩阵作一次初等变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.
初等矩阵都是可逆的，并且有
.
由此得出初等变换具有可逆性：设矩阵用初等变换变成，这相当于对左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘就变回，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由可用初等变换变回.
定义4 矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为.
等价是矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：
(!) 反身性：每一个矩阵与它自身等价.
(2) 对称性：若与等价，则与等价.
(3) 传递性：若与等价，与等价，则与等价.
应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵与等价的充要条件为有一系列初等矩阵，使
,(2)
这一节主要是证明任意一个矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.
引理 设矩阵的左上角元素，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低.
定理2 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵
,
其中是首项系数为1的多项式，且
.
这个矩阵称为的标准形.
例 用初等变换化矩阵
为标准形.
矩阵也可以有初等变换定义3 下面的三种变换叫做矩阵的初等变换：
(1) 矩阵的两行（列）互换位置；
(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；
(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式.
和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第行的倍加到第行上得
仍用表示由单位矩阵经过第行第行互换位置所得的初等矩阵，用表示用非零常数乘单位矩阵第行所得的初等矩阵.同样地，对一个的矩阵作一次初等变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.
初等矩阵都是可逆的，并且有
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由此得出初等变换具有可逆性：设矩阵用初等变换变成，这相当于对左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘就变回，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由可用初等变换变回.
定义4 矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为.
等价是矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：
(!) 反身性：每一个矩阵与它自身等价.
(2) 对称性：若与等价，则与等价.
(3) 传递性：若与等价，与等价，则与等价.
应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵与等价的充要条件为有一系列初等矩阵，使
,(2)
这一节主要是证明任意一个矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.
引理 设矩阵的左上角元素，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低.
定理2 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵
,
其中是首项系数为1的多项式，且
.
这个矩阵称为的标准形.
例 用初等变换化矩阵
为标准形.
