§3 不 变 因 子现在来证明，矩阵的标准形是唯一的.
定义5 设矩阵的秩为，对于正整数，中必有非零的级子式,中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子.
由定义可知，对于秩为的矩阵，行列式因子一共有个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.
定理3 等价的矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.
现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为
 (1)
其中是首项系数为1的多项式，且.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个级子式一定为零.因此，为了计算级行列式因子，只要看由行与列组成的级子式就行了，而这个级子式等于

显然，这种级子式的最大公因式就是

定理4 矩阵的标准形是唯一的.
证明 设(1)是的标准形.由于与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数;的级行列式因子就是
,(2)
于是
,(3)
这就是的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被的行列式因子所唯一决定的，所以的标准形是唯一的.
定义6 标准形的主对角线上非零元素称为矩阵的不变因子.
定理5 两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
由(3)可以看出，在矩阵的行列式因子之间，有关系式
,(4)
在计算矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.
例如，可逆矩阵的标准形.设为一个可逆矩阵，由定理1知
,
其中是一非零常数，这就是说

于是由(4)可知，从而

因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵.反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵与等价的充要条件是有一系列初等矩阵，使

特别是，当时，就得到定理6 矩阵是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.
推论 两个的矩阵与等价的充要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使
.