§6 线性变换的值域与核定义6 设A是线性空间的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用A表示.所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A表示.
若用集合的记号则A=,A=
线性变换的值域与核都是的子空间.
A的维数称为A的秩，A的维数称为A的零度.
例1 在线性空间中，令
D
则D 的值域就是，D 的核就是子空间.
定理10 设A是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下A的矩阵是，则
1） A的值域A是由基像组生成的子空间，即
A=
2） A的秩=的秩.
定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.
定理11 设A是维线性空间的线性变换，则A的一组基的原像及A的一组基合起来就是的一组基.由此还有
A的秩+A的零度=
推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射.
虽然子空间A与A的维数之和为，但是A+A并不一定是整个空间.
例2 设是一个矩阵，证明相似于一个对角矩阵
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