§8 线性空间的同构设是线性空间的一组基，在这组基下，中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是到的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间与的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设
,

而向量的坐标分别是,，那么
;
.
于是向量的坐标分别是
,
.
以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间的讨论也就可以归结为的讨论.
定义11 数域上两个线性空间与称为同构的，如果由到有一个双射，具有以下性质：
1）;
2) 
其中是中任意向量，是中任意数.这样的映射称为同构映射.
前面的讨论说明在维线性空间中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是到的一个同构映射.因而，数域上任一个维线性空间都与同构.
由定义可以看出，同构映射具有下列性质：
1,.
2,.
3,中向量组线性相关它们的象线性相关.
因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数.
4,如果是的一个线性子空间，那么，在下的象集合

是的子空间，并且与维数相同.
5,同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.
同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.
既然数域上任意一个维线性空间都与同构，由同构的对称性与传递性即得，数域上任意两个维线性空间都同构.
定理12 数域上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.
由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征.