§4 基变换与坐标变换在维线性空间中，任意个线性无关的向量都可以取作空间的基.对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的.随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的.
设与是维线性空间中两组基，它们的关系是
 (1)
设向量在这两组基下的坐标分别是与，即
 (2)
现在的问题就是找出与的关系.
首先指出，(1)中各式的系数

实际上就是第二组基向量在第一组基下的坐标.向量的线性无关性就保证了(1)中系数矩阵的行列式不为零.换句话说，这个矩阵是可逆的.
为了写起来方便，引入一种形式的写法.把向量

写成
,(3)
也就是把基写成一个矩阵，把向量的坐标写成一个矩阵，而把向量看作是这两个矩阵的乘积.所以说这种写法是”形式的”，在于这里是以向量作为矩阵的元素，一般说来没有意义.不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的.
相仿地，(1)可以写成
,(4)
矩阵

称为由基到的过渡矩阵，它是可逆的.
在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律.
设和是中两个向量组，是两个矩阵，那么



现在回到本节所要解决的问题上来.由(2)有
.
用(4)代入，得
.
与(3)比较，由基向量的线性无关性，得
,(5)
或者
,(6)
(5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式.
例1 在§3例2 中有


就是过渡矩阵.不难得出
.
因此

也就是
.
与§3所得出的结果是一致的.
例2 取的两个彼此正交的单位向量它们作成的一个基.令分别是由旋转角所得的向量，则也是的一个基，有

所以｛｝到｛｝的过渡矩阵是
.
设的一个向量关于基｛｝和｛｝的坐标分别为与().于是由(5)得

即

这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.