§3 维数·基与坐标一、向量的线性相关与线性无关定义2 设是数域上的一个线性空间，是一组向量,是数域中的数，那么向量

称为向量组的一个线性组合，有时也说向量可以用向量组线性表出.
定义3 设
; (1)
 (2)
是中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.
定义4 线性空间中向量称为线性相关，如果在数域中有个不全为零的数，使
,(3)
如果向量不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组称为线性无关，如果等式（3）只有在时才成立.
几个常用的结论：
1,单个向量线性相关的充要条件是.两个以上的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.
2,如果向量组线性无关，而且可以被线性表出，那么.
由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.
3,如果向量组线性无关，但线性相关，那么可以由被线性表出，而且表示法是唯一的.
在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.
定义5 如果在线性空间中有个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么就称为维的；如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称为无限维的.
定义6 在维线性空间中，个线性无关的向量称为的一组基.设是中任一向量，于是线性相关，因此可以被基线性表出：
.
其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，记为.
由以上定义看来，在给出空间的一组基之前，必须先确定的维数.
定理1 如果在线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以用它们线性表出，那么是维的，而就是的一组基.
例1 在线性空间中，

是个线性无关的向量，而且每一个次数小于的数域上的多项式都可以被它们线性表出，所以是维的，而就是它的一组基.
例2 在维的空间中，显然

是一组基.对于每一个向量,都有
.
所以就是向量在这组基下的坐标.
例3 如果把复数域看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的.