§5 矩阵的分块在这一节，我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法，即矩阵的分块.有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.这就是所谓矩阵的分块.
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵

中，表示级单位矩阵，而
.
在矩阵

中，
.
在计算时，把都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
,
其中
,
.
因之
.
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
一般，设，把分成一些小矩阵
,(1)
,(2)
其中每个是小矩阵，每个是小矩阵，于是有
,(3)
其中
,(4)
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.
以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
实际上，在证明关于矩阵乘积的秩的定理时，已经用了矩阵分块的想法.在那里，用表示的行向量，于是
,
这就是的一种分块.按分块相乘，就有
.
用这个式子很容易看出的行向量是的行向量的线性组合；将进行另一种分块乘法，从结果中可以看出的列向量是的列向量的线性组合.
作为一个例子，我们来求矩阵

的逆矩阵，其中分别是级和级的可逆矩阵，是矩阵，是零矩阵.
首先，因为
,
所以当可逆时，也可逆.设
,
于是
,
这里分别表示级和级单位矩阵.乘出来并比较等式两边，得

由第一、二式得
,
代入第四式，得
,
代入第三式，得
.
因此
.
特别地，当时，有
.
形式为

的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵，而形式为

的矩阵，其中是矩阵，通常称为准对角矩阵.当然，准对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形.
对于两个有相同分块的准对角矩阵
,,
如果它们相应的分块是同级的，那么显然有


它们还是准对角矩阵.
其次，如果都是可逆矩阵，那么
.