§7 二元高次方程组一、结式的概念引理 设

是数域上两个非零的多项式，它们的系数不全为零.于是与在中有非常数的公因式在中存在非零的次数小于的多项式与次数小于的多项式，使

下面把引理中的条件改变一下.令

由多项式相等的定义，等式
 (5)
就是左右两端对应系数相等，即
 (6)
如果把(6)看成一个关于未知量的方程组，那么它是一个含个未知量，个方程的齐次线性方程组.显然，引理中的条件：“在中存在非零的次数小于的多项式与次数小于的多项式，使(5)成立”就相当于说，齐次线性方程组(6)有非零解.
我们知道，齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列式等于零.
把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换，再把后边的行反号，取行列式就得
.
对任意多项式

(它们可以为零多项式)，我们称上面的行列式为它们的结式，记为.综合以上分析，就可以证明定理10 设

是中两个非零的多项式，于是它们的结式的充要条件是与在中有非常数的公因式或者它们的第一个系数全为零.
当是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上多项式，，的充要条件为，在复数域中有公共根或者它们的第一个系数全为零.
例1 取何值时，多项式

有公根.
二、二元高次方程组的解法结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法.
设是两个复系数的二元多项式，我们来求方程组
 (7)
在复数域中的全部解,可以写成

其中是的多项式.把看作是的多项式，令

这是一个的复系数多项式,
定理11 如果是方程组(7)的一个复数解，那么就是的一个根；反过来，如果是的一个复根，那么，或者存在一个复数使是方程组(7)的一个解.
由此可知，为了解方程组(7)，我们先求高次方程的全部根，把的每个根代入(7)，再求的值.这样，我们就得到(7)的全部解.
例2 求方程组

的解.