§4 矩阵的逆一、可逆矩阵的概念在§2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.
这一节矩阵，如不特别声明，都是矩阵.
对于任意的级方阵都有

这里是级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数的倒数可以用等式

来刻划，相仿地，我们引入定义7 级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得
,(1)
这里是级单位矩阵.
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵，适合等式(1)的矩阵是唯一的(如果有的话).
定义8 如果矩阵适合(1)，那么就称为的逆矩阵，记为.
二、可逆矩阵的逆矩阵的求法下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵是可逆的？如果可逆，怎样求？
定义9 设是矩阵

中元素的代数余子式，矩阵

称为矩阵的伴随矩阵.
由行列式按一行(列)展开的公式立即得出：
,(2)
其中.
如果，那么由(2)得
,(3)
定理3 矩阵可逆的充要条件是非退化的，而

根据定理3容易看出，对于级方阵，如果

那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.
定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.
由(5)可以看出，如果，那么

推论 如果矩阵可逆，那么与也可逆，且

.
利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组

可以写成
,(6)
如果，那么可逆.用

代入(6)，得恒等式，这就是说是一个解.
如果

是(6)的一个解，那么由

得
,
即
.
这就是说，解是唯一的.用的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.
定理4 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么秩（）=秩（）=秩（）.