§6 初等矩阵这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法.
一、初等矩阵定义10 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
显然，初等矩阵都是方阵，每个初等矩阵都有一个与之相应的初等矩阵.互换矩阵的行与行的位置，得
用数域中非零数乘的行，有
,
把矩阵的行的倍加到行，有
同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把的列的倍加到列，我们仍然得到.因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵.
引理 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.
不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上
.
在第二章§5我们看到，用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可以进一步化简.
二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法定义11 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到.
等价是矩阵间的一种关系.不难证明，它具有反身性、对称性与传递性.
定理5 任意一个矩阵都与一形式为
的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，1的个数等于的秩(1 的个数可以是零).
例1 用初等变换将下列矩阵化为标准形，
根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因之，矩阵等价的充要条件是有初等矩阵使
,(1)
级可逆矩阵的秩为，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的.
定理6 级矩阵为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
,（2）
推论1 两个矩阵等价的充要条件为，存在可逆的级矩阵与可逆的级矩阵使
.
把(2)改写一下，有
,(3)
因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵的左边乘初等矩阵就相当于对作初等行变换，所以(3)说明了推论2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.
以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法.设是一级可逆矩阵.由推论2，有一系列初等矩阵使
,(4)
由(4)即得
,(5)
(4)，(5)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到.
把这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵
,
按矩阵的分块乘法，(4)，(5)可以合并写成
,(6)
(6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法.作矩阵，用初等行变换把它的左边一半化成，这时，右边的一半就是.
例2 设
求.
当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.
一、初等矩阵定义10 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
显然，初等矩阵都是方阵，每个初等矩阵都有一个与之相应的初等矩阵.互换矩阵的行与行的位置，得
用数域中非零数乘的行，有
,
把矩阵的行的倍加到行，有
同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把的列的倍加到列，我们仍然得到.因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵.
引理 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.
不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上
.
在第二章§5我们看到，用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可以进一步化简.
二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法定义11 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到.
等价是矩阵间的一种关系.不难证明，它具有反身性、对称性与传递性.
定理5 任意一个矩阵都与一形式为
的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，1的个数等于的秩(1 的个数可以是零).
例1 用初等变换将下列矩阵化为标准形，
根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因之，矩阵等价的充要条件是有初等矩阵使
,(1)
级可逆矩阵的秩为，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的.
定理6 级矩阵为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
,（2）
推论1 两个矩阵等价的充要条件为，存在可逆的级矩阵与可逆的级矩阵使
.
把(2)改写一下，有
,(3)
因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵的左边乘初等矩阵就相当于对作初等行变换，所以(3)说明了推论2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.
以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法.设是一级可逆矩阵.由推论2，有一系列初等矩阵使
,(4)
由(4)即得
,(5)
(4)，(5)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到.
把这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵
,
按矩阵的分块乘法，(4)，(5)可以合并写成
,(6)
(6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法.作矩阵，用初等行变换把它的左边一半化成，这时，右边的一半就是.
例2 设
求.
当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.
