§7 分块乘法的初等变换及应用举例将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段.
现设某个单位矩阵如下进行分块：
.
对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵；一行(列)加上另一行(列)的 (矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：
.
和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
,
只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：
,(1)
,(2)
,(3)
同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果.
在(3)中，适当选择，可使.例如可逆时，选，则.于是(3)的右端成为

这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3)中的运算非常有用.
例1 设
,
可逆，求.
例2设
,
其中可逆，试证存在，并求.
例3 证明行列式的乘积公式.
例4 设，且

则有下三角形矩阵使
=上三角形矩阵.