第六章 线性空间
§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用

表示是集合的元素，读为：属于.用

表示不是集合的元素，读为：不属于.
所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
设是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成
.
不包含任何元素的集合称为空集，记作.
如果两个集合与含有完全相同的元素，即当且仅当，那么它们就称为相等，记为.
如果集合的元素全是集合的元素，即由可以推出，那么就称为的子集合，记为或.
两个集合和如果同时满足和.，则和相等.
设和是两个集合，既属于又属于的全体元素所成的集合称为与的交，记为.
属于集合或者属于集合的全体元素所成的集合称为与的并，记为.
二、映射设和是两个集合，所谓集合到集合的一个映射就是指一个法则，它使中每一个元素都有中一个确定的元素与之对应.如果映射使元素与元素对应，那么就记为
,
就为在映射下的像，而称为在映射下的一个原像.
到自身的映射，有时也称为到自身的变换.
关于到的映射应注意：
1）与可以相同，也可以不同；
2）对于中每个元素，需要有中一个唯一确定的元素与它对应；
3）一般，中元素不一定都是中元素的像；
4）中不相同元素的像可能相同；
5）两个集合之间可以建立多个映射.
集合到集合的两个映射及，若对的每个元素都有则称它们相等，记作..
例1 是全体整数的集合，是全体偶数的集合，定义
,
这是到的一个映射.
例2 是数域上全体级矩阵的集合，定义
.
这是到的一个映射.
例3 是数域上全体级矩阵的集合，定义
.
是级单位矩阵，这是到的一个映射.
例4 对于,定义

这是到自身的一个映射.
例5 设，是两个非空的集合，是中一个固定的元素，定义
.
这是到的一个映射.
例6 设是一个集合，定义
.
即把的每个元素都映到它自身，称为集合的恒等映射或单位映射，记为.
例7 任意一个定义在全体实数上的函数

都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.
对于映射可以定义乘法,设及分别是集合到，到的映射，乘积定义为
,
即相继施行和的结果，是到的一个映射.
对于集合集合到的任何一个映射显然都有
.
映射的乘法适合结合律.设分别是集合到，到，到的映射，映射乘法的结合律就是
.
设是集合到的一个映射，用

代表在映射下像的全体，称为在映射下的像集合.显然
.
如果，映射称为映上的或满射.
如果在映射下，中不同元素的像也一定不同，即由一定有,那么映射就称为的或单射.
一个映射如果既是单射又是满射就称对应或双射.
对于到的双射可以自然地定义它的逆映射，记为.因为为满射，所以中每个元素都有原像，又因为是单射，所以每个元素只有一个原像，定义
.
显然，是到的一个双射，并且
.
不难证明，如果分别是到，到的双射，那么乘积就是到的一个双射.