§6子空间的交与和定理5 如果,是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的子空间.
由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：
(交换律)，
（结合律）.
由结合律，可以定义多个子空间的交：
,
它也是子空间.
定义8 设,是线性空间的子空间，所谓与的和，是指由所有能表示成,而的向量组成的子集合，记作.
定理6 如果,是线性空间的子空间，那么它们的和也是的子空间.
由定义有，子空间的和适合下列运算规律：
(交换律)，
（结合律）.
由结合律，可以定义多个子空间的和
.
它是由所有表示成

的向量组成的子空间.
关于子空间的交与和有以下结论：
1,设都是子空间，那么由与可推出；而由与可推出.
2,对于子空间与，以下三个论断是等价的：
1）
2) ;
3).
例1 在三维几何中用表示一条通过原点的直线，表示一张通过原点而且与垂直的平面，那么，与的交是，而与的和是整个空间.
例2 在线性空间中，用与分别表示齐次方程组

与

的解空间，那么就是齐次方程组

的解空间.
例3 在一个线性空间中，有
.
关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.
定理7（维数公式）如果，是线性空间的两个子空间，那么维（）+维（）=维（）+维（）.
从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.
推论 如果维线性空间中两个子空间，的维数之和大于，那么，必含有非零的公共向量.