§5 对角矩阵定理7 设A是维线性空间的一个线性变换，A的矩阵可以在某一基下为对角矩阵的充要条件是A有个线性无关的特征向量.
定理8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
推论1 如果在维线性空间中，线性变换A的特征多项式在数域中有个不同的根，即?有个不同的特征值，那么A在某组基下的矩阵是对角形的.
推论2 在复数上的线性空间中，如果线性变换A的特征多项式没有重根，那么A在某组基下的矩阵是对角形的.
在一个线性变换没有个不同的特征值的情形，要判断这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂些.
定理9 如果是线性变换A的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，那么向量组也线性无关.
根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形.换句话说，设A全部不同的特征值是，于是A在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件是A的特征子空间的维数之和等于空间的维数.
应该看到，当线性变换A在一组基下的矩阵是对角形时：

A的特征多项式就是

因此，如果线性变换A在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正好是的特征多项式全部的根（重根按重数计算）.
根据§3定理5，一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角形的问题就相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题.
例 在§4的例2中，已经算出线性变换A的特征值是-1（二重）与5，而对应的特征向量是

由此可见，A在基下的矩阵为对角矩阵

而由到的过渡矩阵是

于是，.