§4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵的特征值和特征向量时曾出现过矩阵,我们称它为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个数字矩阵和相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.
引理1 如果有数字矩阵使
,(1)
则和相似.
引理2 对于任何不为零的数字矩阵和矩阵与，一定存在矩阵与以及数字矩阵和使
,(2)
,(3)
定理7 设，是数域上两个矩阵,与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.
矩阵的特征矩阵的不变因子以后简称为的不变因子.因为两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论 矩阵与相似的充要条件是它们有相同的不变因子.
应该指出，矩阵的特征矩阵的秩一定是.因此，矩阵的不变因子总是有个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.
以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.