第九章 欧几里得空间
§1定义与基本性质一、向量的内积定义1 设是实数域上一个向量空间,在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,它具有以下性质:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ,当且仅当时,
这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.
例1 在线性空间中,对于向量
,
定义内积
(1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.
在时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例2 在里,对于向量
,
定义内积
则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.
例3 在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积
,(2)
对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.
同样地，线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.
例4 令是一切平方和收敛的实数列
所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.
二、欧几里得空间的基本性质
1）定义中条件1）表明内积是对称的.
.
定义2 非负实数称为向量的长度，记为.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
(3)
这里.
长度为1的向量叫做单位向量.如果,由(3)式，向量
就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.
柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量有
(5)
当且仅当线性相关时，等式才成立.
对于例1的空间，(5)式就是
对于例2的空间，(5)式就是
定义3 非零向量的夹角规定为
根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式
.
定义4 如果向量的内积为零，即
那么称为正交或互相垂直，记为.
两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.
只有零向量才与自己正交.
勾股定理：当正交时，
推广：如果向量两两两正交，那么
.
设是一个维欧几里得空间，在中取一组基，对于中任意两个向量
,,
由内积的性质得
令
(8)
显然
于是
(9)
利用矩阵，还可以写成
,(10)
其中
分别是的坐标，而矩阵
称为基的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.
设是空间的另外一组基，而由到的过渡矩阵为，即
于是不难算出，基的度量矩阵
,(11)
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.
根据条件(4)，对于非零向量，即
有
因此，度量矩阵是正定的.
反之，给定一个级正定矩阵及维实线性空间的一组基.可以规定上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的度量矩阵是.
欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.
欧几里得空间以下简称为欧氏空间.
§1定义与基本性质一、向量的内积定义1 设是实数域上一个向量空间,在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,它具有以下性质:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ,当且仅当时,
这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.
例1 在线性空间中,对于向量
,
定义内积
(1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.
在时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例2 在里,对于向量
,
定义内积
则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.
例3 在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积
,(2)
对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.
同样地，线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.
例4 令是一切平方和收敛的实数列
所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.
二、欧几里得空间的基本性质
1）定义中条件1）表明内积是对称的.
.
定义2 非负实数称为向量的长度，记为.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
(3)
这里.
长度为1的向量叫做单位向量.如果,由(3)式，向量
就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.
柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量有
(5)
当且仅当线性相关时，等式才成立.
对于例1的空间，(5)式就是
对于例2的空间，(5)式就是
定义3 非零向量的夹角规定为
根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式
.
定义4 如果向量的内积为零，即
那么称为正交或互相垂直，记为.
两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.
只有零向量才与自己正交.
勾股定理：当正交时，
推广：如果向量两两两正交，那么
.
设是一个维欧几里得空间，在中取一组基，对于中任意两个向量
,,
由内积的性质得
令
(8)
显然
于是
(9)
利用矩阵，还可以写成
,(10)
其中
分别是的坐标，而矩阵
称为基的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.
设是空间的另外一组基，而由到的过渡矩阵为，即
于是不难算出，基的度量矩阵
,(11)
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.
根据条件(4)，对于非零向量，即
有
因此，度量矩阵是正定的.
反之，给定一个级正定矩阵及维实线性空间的一组基.可以规定上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的度量矩阵是.
欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.
欧几里得空间以下简称为欧氏空间.
