§2 对偶空间设是数域上一个维线性空间,上全体线性函数组成的集合记作.可以用自然的方法在上定义加法和数量乘法.
设是的两个线性函数.定义函数如下：
.
也是线性函数：

.
称为与的和.
还可以定义数量乘法.设是上线性函数，对于中任意数，定义函数如下：
,
称为与的数量乘积，易证也是线性函数.
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，成为数域上的线性空间.
取定的一组基，作上个线性函数，使得
 (1)
因为在基上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对中向量，有
,(2)
即是的第个坐标的值.
引理 对中任意向量，有
,(3)
而对中任意向量，有
,(4)
定理2 的维数等于的维数，而且是的一组基.
定义2 称为的对偶空间.由（1）决定的的基，称为的对偶基.
以后简单地把的对偶空间记作.
例 考虑实数域上的维线性空间，对任意取定的个不同实数，根据拉格朗日插值公式，得到个多项式

它们满足

是线性无关的，因为由

用代入，即得
.
又因是维的，所以是的一组基.
设是在点的取值函数：

则线性函数满足

因此，是的对偶基.
下面讨论的两组基的对偶基之间的关系.
设是数域上一个维线性空间.及是的两组基.它们的对偶基分别是及.再设


其中
,
由假设
,
.
因此

由矩阵乘法定义，即得

即

定理3 设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及.如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为.
设是上一个线性空间，是其对偶空间，取定中一个向量，定义的一个函数如下：
.
根据线性函数的定义，容易检验是上的一个线性函数，因此是的对偶空间中的一个元素.
定理4 是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间,到的映射

是一个同构映射.
这个定理说明，线性空间也可看成的线性函数空间，与实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.