第十章 双线性函数与辛空间
§1 线性函数定义1 设是数域上的一个线性空间，是到的一个映射，如果满足
1）;
2）,
式中是中任意元素，是中任意数，则称为上的一个线性函数.
从定义可推出线性函数的以下简单性质：
1,设是上的线性函数，则.
2,如果是的线性组合：

那么

例1设是中任意数，是中的向量.函数
 (1)
就是上的一个线性函数.当时，得,称为零函数，仍用0表示零函数.
实际上，上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.
令
.
第个
中任一向量可表成
.
设是上一个线性函数，则

令

则

就是上述形式.
例2 是数域上一个级矩阵，设
,
则的迹

是上全体级矩阵构成的线性空间上的一个线性函数.
例3 设是中一个取定的数.定义上的函数为
,
即为在点的值，是上的线性函数.
如果是数域上一个维线性空间.取定的一组基.对上任意线性函数及中任意向量：

都有
,(2)
因此，由的值唯一确定.反之，任给中个数，用下式定义上一个函数：
.
这是一个线性函数，并且

因此有定理1 设是上一个维线性空间，是的一组基，是中任意个数，存在唯一的上线性函数使
.