§3 同构定义8 实数域上欧氏空间与称为同构的,如果由到有一个双射，满足
1),
2),
3),
这里，这样的映射称为到的同构映射.
由定义，如果是欧氏空间到的一个同构映射，那么也是到作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数.
设是一个维欧氏空间，在中取一组标准正交基，在这组基下，的每个向量都可表成

令

就是到的一个双射，并且适合定义中条件1),2).上一节(3)式说明，也适合条件3)，因而是到的一个同构映射，由此可知，每个维的欧氏空间都与同构.
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
既然每个维欧氏空间都与同构，按对称性与传递性得，任意两个维欧氏空间都同构.
定理3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等.
这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.