§6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.
不难算出若尔当块

的初等因子是.
事实上，考虑它的特征矩阵

显然，这就是的级行列式因子.由于有一个级子式是
,
所以它的级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此它的不变因子
.
由此即得，的初等因子是.
再利用§5的定理9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出.
设

是一个若尔当形矩阵，其中
.
既然的初等因子是，所以与

等价.于是

与

等价.因此，的全部初等因子是：
.
这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数与主对角线上元素所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.
定理10 每个级的复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形.
例1 §5的例中，12级矩阵的若尔当标准形就是

例2 求矩阵

的若尔当标准形.
定理10换成线性变换的语言来说就是：
定理11 设A是复数域上维线性空间的线性变换，在中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.
应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理12 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的初等因子全为一次的.
根据若尔当形的作法，可以看出矩阵的最小多项式就是的最后一个不变因子.因此有定理13 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的不变因子都没有重根.
虽然我们证明了每个复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵，使成若尔当标准形的问题,的确定牵涉到比较复杂的计算问题.
最后指出，如果规定上三角形矩阵

为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理10，定理11的结论也成立.