§5 初等因子一、初等因子的概念定义7 把矩阵（或线性变换A）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵 (或线性变换A)的初等因子.
例 设12级矩阵的不变因子是
.
按定义，它的初等因子有7个，即
.
其中出现三次，出现二次.
现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设级矩阵的不变因子为已知.将分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：
,
,
,
则其中对应于的那些方幂
就是的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即
,
从而
.
因此在的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即
.
这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在的分解中，方次次高的必定出现在的分解中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.
二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成个.设所得排列为
.
于是令
,
则就是的不变因子.
这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.
综上所述，即得定理8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.
如果多项式都与互素，则.
.
引理 设
,
,
如果多项式都与互素，则和等价.
定理9 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是的全部初等因子.
例 设12级矩阵的不变因子是
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按定义，它的初等因子有7个，即
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其中出现三次，出现二次.
现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设级矩阵的不变因子为已知.将分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：
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则其中对应于的那些方幂
就是的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即
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从而
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因此在的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即
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这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在的分解中，方次次高的必定出现在的分解中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.
二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成个.设所得排列为
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于是令
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则就是的不变因子.
这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.
综上所述，即得定理8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.
如果多项式都与互素，则.
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引理 设
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如果多项式都与互素，则和等价.
定理9 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是的全部初等因子.
