第八章 矩阵
§1 矩阵设是数域，是一个文字，作多项式环，一个矩阵如果它的元素是的多项式，即的元素，就称为矩阵.在这一章讨论矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.
因为数域中的数也是的元素，所以在矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与矩阵相区别，把以数域中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用等表示矩阵.
我们知道，中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.
行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个的矩阵的行列式.一般地，矩阵的行列式是的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.
定义1 如果矩阵中有一个级子式不为零，而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为.零矩阵的秩规定为零.
定义2 一个的矩阵称为可逆的，如果有一个的矩阵使
,(1)
这里是级单位矩阵.适合(1)的矩阵(它是唯一的)称为的逆矩阵，记为..
定理1 一个的矩阵是可逆的充要条件为行列式是一个非零的数.