§4 特征值与特征向量一、线性变换的特征值和特征向量的概念定义4 设A是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得
A=,（1）
那么称为A的一个特征值,而叫做A的属于特征值的一个特征向量.
从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变或者方向相反,至于时，特征向量就被线性变换变成0.
如果是线性变换A的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数也是A的属于特征值的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法设是数域上维线性空间，是它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是.设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是,则A的坐标是
.
的坐标是
因此（1）式相当于坐标之间的等式
(2)
或
这说明特征向量的坐标满足齐次方程组
即
(3)
由于,所以它的坐标不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即
.
定义5 设是数域上一个级矩阵,是一个数字.矩阵的行列式
(4)
叫做矩阵的特征多项式,这是数域上的一个次多项式.
上面的分析说明，如果是线性变换A的特征值，那么一定是矩阵的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量
满足（1），即是线性变换A的一个特征值，就是属于特征值的一个特征向量.
因此确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1.在线性空间中取一组基，写出A在这组基下的矩阵；
2.求出的特征多项式在数域中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值；
3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.
矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为的属于这个特征值的特征向量.
例1 在维线性空间中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是，它的特征多项式是
.
因此，数乘变换K的特征值只有，由定义可知，每个非零向量都是属于数乘变换K的特征向量.
例2 设线性变换A在基下的矩阵是
,
求A的特征值与特征向量.
例3 在空间中，线性变换
D
在基下的矩阵是
的特征多项式是
.
因此，的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.
例4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，§1例1中旋转?在直角坐标系下的矩阵为
它的特征多项式为
当时，这个多项式没有实根.因之，当时，?没有特征值.从几何上看，这个结论是明显的.
容易看出，对于线性变换A的任一个特征值，全部适合条件
A
的向量所成的集合，也就是A的属于的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是的一个子空间，称为A的一个特征子空间，记为.显然，的维数就是属于的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为.
在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系数.在
的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积
展开式中的其余项，至多包含个主对角线上的元素，它对的次数最多是.因此特征多项式中含的次与次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是
.
在特征多项式中令，即得常数项.
因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有
,(5)
由根与系数的关系可知，的全体特征值的和为（称为的迹）.而的全体特征值的积为.
特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵有定理6 相似矩阵有相同的特征多项式.
定理6说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接被线性变换所决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.
既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式.因此，以后就可以说线性变换的行列式.
应该指出，定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如
它们的特征多项式都是，但和不相似，因为和相似的矩阵只能是本身.
哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则
推论 设A是有限维空间的线性变换，是A的特征多项式，那么(A)=?.
A=,（1）
那么称为A的一个特征值,而叫做A的属于特征值的一个特征向量.
从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变或者方向相反,至于时，特征向量就被线性变换变成0.
如果是线性变换A的属于特征值的特征向量，那么的任何一个非零倍数也是A的属于特征值的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法设是数域上维线性空间，是它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是.设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是,则A的坐标是
.
的坐标是
因此（1）式相当于坐标之间的等式
(2)
或
这说明特征向量的坐标满足齐次方程组
即
(3)
由于,所以它的坐标不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即
.
定义5 设是数域上一个级矩阵,是一个数字.矩阵的行列式
(4)
叫做矩阵的特征多项式,这是数域上的一个次多项式.
上面的分析说明，如果是线性变换A的特征值，那么一定是矩阵的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量
满足（1），即是线性变换A的一个特征值，就是属于特征值的一个特征向量.
因此确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1.在线性空间中取一组基，写出A在这组基下的矩阵；
2.求出的特征多项式在数域中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值；
3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.
矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为的属于这个特征值的特征向量.
例1 在维线性空间中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是，它的特征多项式是
.
因此，数乘变换K的特征值只有，由定义可知，每个非零向量都是属于数乘变换K的特征向量.
例2 设线性变换A在基下的矩阵是
,
求A的特征值与特征向量.
例3 在空间中，线性变换
D
在基下的矩阵是
的特征多项式是
.
因此，的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.
例4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，§1例1中旋转?在直角坐标系下的矩阵为
它的特征多项式为
当时，这个多项式没有实根.因之，当时，?没有特征值.从几何上看，这个结论是明显的.
容易看出，对于线性变换A的任一个特征值，全部适合条件
A
的向量所成的集合，也就是A的属于的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是的一个子空间，称为A的一个特征子空间，记为.显然，的维数就是属于的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为.
在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系数.在
的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积
展开式中的其余项，至多包含个主对角线上的元素，它对的次数最多是.因此特征多项式中含的次与次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是
.
在特征多项式中令，即得常数项.
因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有
,(5)
由根与系数的关系可知，的全体特征值的和为（称为的迹）.而的全体特征值的积为.
特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵有定理6 相似矩阵有相同的特征多项式.
定理6说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接被线性变换所决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.
既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式.因此，以后就可以说线性变换的行列式.
应该指出，定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如
它们的特征多项式都是，但和不相似，因为和相似的矩阵只能是本身.
哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则
推论 设A是有限维空间的线性变换，是A的特征多项式，那么(A)=?.
