§2 线性变换的运算一、线性变换的乘法设A,,B是线性空间的两个线性变换，定义它们的乘积为.
(AB)()= A,(B ()) ().
则线性变换的乘积也是线性变换.
线性变换的乘法适合结合律，即
(AB)C=A(BC).
但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换
D（）=.
（）=
的乘积D?=?，但一般?D≠?.
对于任意线性变换A，都有
A?=?A = A.
二、线性变换的加法设A,B是线性空间的两个线性变换，定义它们的和A+B为
(A+B)()= A ()+B () ().
则线性变换的和还是线性变换.
线性变换的加法适合结合律与交换律，即
A+(B+C)=(A+B)+C.
A+B=B+A.
对于加法，零变换?与所有线性变换A 的和仍等于A：
A+?=A.
对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）：
(-A)()=- A () ().
则负变换（-A）也是线性变换，且
A+（-A）=?.
线性变换的乘法对加法有左右分配律，即
A(B+C)=AB+AC，
(B+C)A=BA+CA.
三、线性变换的数量乘法数域中的数与线性变换A的数量乘法定义为
A =KA
即
A()=K(A ())=KA (),
当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：
A=(A),
A=A+A,
(A+B)=A+B,
1A=A.
线性空间上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域上一个线性空间.
的变换A称为可逆的，如果有的变换B 存在，使
AB=BA=E.
这时，变换B称为A的逆变换，记为A.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A也是线性变换.
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当个（是正整数）线性变换A相乘时，就可以用

来表示，称为A的次幂，简记为A.作为定义，令
A= E.
根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：
A=AA,(A)=A
当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为
A=(A)(是正整数).
值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来
(AB)AB.
设

是中一多项式，A是的一个线性变换，定义
(A)=A+A+…+E
显然(A)是一线性变换，它称为线性变换A的多项式.
不难验证，如果在中

那么
(A)=( A)+( A),(A)=( A)( A).
特别地，
(A)( A)=( A)( A).
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.
例1 在三维几何空间中，对于某一向量的内射影是一个线性变换,可以用下面的公式来表示：
.
其中表示向量的内积.
从图2不难看出，在以为法向量的平面上的内射影可以用公式

表示.因此
?-.
这里?是恒等变换.
对于平面的反射?也是一个线性变换，它的像由公式

给出.因此
=?-2.
设是空间的两个向量.显然，与互相垂直的充要条件为
?
例2 在线性空间中，求微商是一个线性变换，用D表示.显然有
D?.
其次，变换的平移

也是一个线性变换，用?表示.根据泰勒展开式
,
因之?实质上是?的多项式：
=?+D+D+…+D.