§9 最小多项式根据哈密尔顿—凯莱定理，任给数域上一个级矩阵，总可以找到数域上一个多项式，使.如果多项式使，就称以为根.当然，以为根的多项式是很多的，其中次数最低的首项系数为1的以为根的多项式称为的最小多项式.这一节讨论应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题.
引理1 矩阵的最小多项式是唯一的.
引理2 设是矩阵的最小多项式，那么以为根的充要条件是整除.
由此可知，矩阵的最小多项式是的特征多项式的一个因式.
例1 数量矩阵的最小多项式为，特别地，单位矩阵的最小多项式为，零矩阵的最小多项式为.另一方面，如果的最小多项式是1次多项式，那么一定是数量矩阵.
例2 设

求的最小多项式.
例3 设
.
与的最小多项式都等于，但是它们的特征多项式不同，因此和不是相似的.
引理3 设是一个准对角矩阵
,
并设的最小多项式为，的最小多项式为,那么的最小多项式为,的最小公倍式.
这个结论可以推广到为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形.即：如果
,
的最小多项式为，那么的最小多项式为
引理4 级若尔当块

的最小多项式为.
定理15 数域上级矩阵与对角矩阵相似的充要条件为的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.
推论 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的最小多项式没有重根.