§7 矩阵的有理标准形前一节中证明了复数域上任一矩阵可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将对任意数域来讨论类似的问题.我们证明了上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.
定义8 对数域上的一个多项式

称矩阵
 (1)
为多项式的伴侣阵.
容易证明，的不变因子(即的不变因子)是
.（见习题3）
定义9 下列准对角矩阵
,(2)
其中分别是数域上某些多项式的伴侣阵，且满足，就称为上的一个有理标准形矩阵.
引理 (2)中矩阵的不变因子为，其中1的个数等于的次数之和减去.
定理14 数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.
把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为定理15 设A是数域上维线性空间的线性变换，则在中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A的有理标准形.
例 设矩阵的初等因子为，则它的不变因子是1，，它的有理标准形为
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