§4正交变换定义9欧氏空间的线性变换A叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有,都有.
(A,A)=.
正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.
定理4 设A是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：
1）A是正交变换；
2）A保持向量的长度不变，即对于,|A|=||;
3）如果是标准正交基，那么A ,A ,…,A 也是标准正交基；
4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的.由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
如果是正交矩阵，那么由

可知
或者.
因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.
例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基，定义线性变换A为：
A  A .
那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.
例1 令是空间里过原点的一个平面,,令对于的镜面反射与它对应.是的一个正交变换.
例2 设,令.则是的一个正交变换.
例3 将的每一向量旋转一个角的正交变换关于的任意标准正交基的矩阵是
.
又令是例1中的正交变换.在平面内取两个正交的单位向量,再取一个垂直于H的单位向量,那么是的一个规范正交基,关于这个基的矩阵是

以上两个矩阵都是正交矩阵.