§8 酉空间介绍定义14 设是复数域上一个线性空间，在上定义了一个二元复函数，称为内积,记作，它具有以下性质:
1) ，是的共轭复数;
2) ;
3) ;
4) 是非负实数,且当且仅当
这里是中任意的向量,是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.
例1 在线性空间,对向量

定义内积为
,(1)
显然内积（1）满足定义14中的条件.这样就成为一个酉空间.
由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.
1) .
2) .
3) 叫做向量的长度，记为.
4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量有
,
当且仅当线性相关时等号成立.
注意：酉空间中的内积一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入
5) 向量，当时称为正交的或互相垂直.
在维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：
6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.
7）对级复矩阵，用表示以的元素的共轭复数作元素的矩阵.如满足，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.
两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.
8) 酉空间的线性变换A，满足
(A,A)=(,),
就称为的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
9）如矩阵满足

则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间中令
A
则
(A,)=(,A).
A也是对称变换.
10）是酉空间，是子空间，是的正交补，则
又设是对称变换的不变子空间，则也是不变子空间.
11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.
12）若是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵，使

是对角形知阵.
13）设为埃尔米特矩阵，二次齐次函数

叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵，当时
.