§4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：
1,辛空间中一定能找到一组基满足

.
这样的基称为的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.
2．任一级非退化反对称矩阵可把一个数域上维空间化成一个辛空间，且使为的某基下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基下的度量矩阵为
,(1)
故合同于.即任一级非退化反对称矩阵皆合同于.
两个辛空间及，若有到的作为线性空间的同构?，它满足
,
则称?是到的辛同构.
到的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把的一组辛正交基变成的辛正交基.
两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
辛空间到自身的，辛同构称为上的辛变换.取定的一组辛正交基，上的一个线性变换?，在该基下的矩阵为，
,
其中皆为方阵.则?是辛变换当且仅当，亦即当且仅当下列条件成立：

且易证，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设是辛空间，,满足，则称为辛正交的.
是的子空间，令
,(2)
显然是的子空间，称为的辛正交补空间.
定理7 是辛空间，是的子空间，则
.
定义9 为辛空间，为的子空间.若，则称为的迷向子空间；若，即是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若，则称为的辛了空间.
例如，设是的辛正交基，则是迷向子空间,是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间是辛子空间.
对辛空间的子空间.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：
(1) ,
(2) ,
(3) 若是辛子空间，则
(4) 若是迷向子空间,则
(5) 若是拉格朗日子空间，则
定理8 设是辛空间的拉格朗日子空间，是的基，则它可扩充为的辛正交基.
推论 设是的迷向子空间，是的基，则它可扩充成的辛正交基.
对于辛子空间，也是非退化的.同样也非退化.由定理7还有.
定理9 辛空间的辛子空间的一组辛正交基可扩充成的辛正交基..
定理10 令为辛空间，和是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有的辛变换把变成.
辛空间的两个子空间及之间的（线性）同构?若满足

则称?为与间的等距.
Witt定理 辛空间的两个子空间,之间若有等距，则此等距可扩充成的一个辛变换.
下面是辛变换的特征值的一些性质.
是辛空间上的辛变换，则?的行列式为1.
取定的辛正交基.设?在基下矩阵为，这时有.
定理11 设?是维辛空间中的辛变换，是?在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式满足.若设
,
则.
由定理11可知，辛变换?的特征多项式的（复）根与是同时出现的，且具有相同的重数.它在中的特征值也如此.又等于的所有（复）根的积，而.故特征值的重数为偶数.又不等于的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为的重数也为偶数.
定理12 设是数域上辛空间上辛变换?在中的特征值，且.设,分别是中对应于特征值及的特征子空间.则，有，即与是辛正交的.特别地，当时是迷向子空间.