§6 实对称矩阵的标准形由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵使成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是：
对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使

成对角形.
引理1 设是实对称矩阵，则的特征值皆为实数.
对应于实对称矩阵，在维欧氏空间上定义一个线性变换A如下：
A,(1)
显然A在标准正交基
 (2)
下的矩阵就是.
引理2 设是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意，有
(A,)=(,A),(3)
或

定义12 欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换.
容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.
引理3 设A是对称变换，是A-子空间，则也是A-子空间.
引理4 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交.
定理7 对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成对角形.
下面来看看在给定了一个实对称矩阵之后，按什么办法求正交矩阵使成对角形.在定理的证明中看到，矩阵按(1)式在中定义了一个线性变换.求正交矩阵的问题就相当于在中求一组由的特征向量构成的标准正交基.事实上，设

是的一组标准正交基，它们都是的特征向量.显然，由到的过渡矩阵就是

是一个正交矩阵，而

就是对角形.
根据上面的讨论，正交矩阵的求法可以按以下步骤进行：
1,求出的特征值.设是的全部不同的特征值.
2,对于每个，解齐次方程组

求出一个基础解系，这就是的特征子空间的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出的一组标准正交基.
3,因为两两不同，所以根据这一节引理4，向量组还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成的一组标准正交基，并且也都是的特征向量.这样，正交矩阵也就求出了.
例 已知

求一正交矩阵使成对角形.
应该指出，在定理7中，对于正交矩阵我们还可以进一步要求

事实上，如果求得的正交矩阵的行列式为-1，那么取

那么是正交矩阵，而且

显然.
如果线性替换

的矩阵是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的.
用二次型的语言，定理7可以叙述为：
定理8 任意一个实二次型

都可以经过正交的线性替换变成平方和
,
其中平方项的系数就是矩阵的特征多项式全部的根.
最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类.
在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是
 (5)
令

则(5)可以写成
 (6)
经过转轴，坐标变换公式为
或者
其中为正交变换且，在新坐标系中，曲面的方程就是

根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵使

这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为

其中

这时，再按照是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当全不为零时，就作移轴

于是曲面的方程化为

其中
.