§3 双线性函数定义3 是数域上一个线性空间，是上一个二元函数，即对中任意两个向量，根据都唯一地对应于中一个数.如果有下列性质：
1）;
2）,
其中是中任意向量，是中任意数，则称为上的一个双线性函数.
这个定义实际上是说对于上双线性函数，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.
例1 欧氏空间的内积是上双线性函数.
例2 设都是线性空间上的线性函数，则
是上的一个双线性函数.
例3 设是数域上维列向量构成的线性空间.再设是上级方阵.令
,(1)
则是上的一个双线性函数.
如果设，并设
则
,(2)
（1）或（2）实际上是数域上任意维线性空间上的双线性函数的一般形式.可以如下地说明这一事实.取的一组基.设
,
,
则
,(3)
令
,
则（3）就成为（1）或（2）.
定义4 设是数域上维线性空间上的一个双线性函数,是的一组基，则矩阵
(4)
叫做在下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定的一组基后，每个双线性函数都对应于一个级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
反之，任给数域上一个级矩阵
对中任意向量及，其中，用
定义的函数是上一个双线性函数.容易计算出在下的度量矩阵就是.
因此，在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设及是线性空间的两组基：
是中两个向量
,
那么
如果双线性函数在及下的度量矩阵分别为，则有
.
又
.
因此
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义5 设是线性空间上一个双线性函数，如果
对任意，可推出，就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数在基下的度量矩阵为，则对,，有
如果向量满足
,
那么对任意都有
因此
而有非零向量使上式成立的充要条件为是退化的，因此易证双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.
定义6 是线性空间上的一个双线性函数，如果对上任意两个向量都有
,
则称为对称双线性函数.如果对中任意两个向量都有
则称为反对称双线性函数.
设是线性空间上的一个对称双线性函数，对的任一组基，由于
故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数在下的度量矩阵是对称的，那么对中任意两个向量及都有
.
因此是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.
定理5 设是数域上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
如果在下的度量矩阵为对角矩阵，那么对,
有表示式
.
这个表示式也是在下的度量矩阵为对角形的充分条件.
推论1 设是复数上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有
.
推论2 设是实数上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有
.
对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.
定义7 设是数域上线性空间，是上双线性函数.当时，上函数称为与对应的二次齐次函数.
给定上一组基，设的度量矩阵为.对中任意向量有
,(5)
式中的系数为.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
及
只要
,
那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.
定理6 设是维线性空间上的反对称双线性函数，则存在的一组基使
(6)
从定理5可知，上的对称双线性函数如果是非退化的则有的一组基满足
前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做的对于的正交基.
而从定理6可知，上的反对称双线性函数如果是非退化的，则有的一组基使
由于非退化的条件，定理6中的不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间，也可以将这些双线性函数看成上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义8 设是数域上的线性空间，在上定义一个非退化线性函数，则称为一个双线性度量空间.当是非退化对称双线性函数时，称为上的正交空间；当是维实线性空间，是非退化对称双线性函数时，称为准欧氏空间；当是非退化反对称双线性函数时，称为辛空间.有着非退化双线性函数的双线性度量空间常记为.
1）;
2）,
其中是中任意向量，是中任意数，则称为上的一个双线性函数.
这个定义实际上是说对于上双线性函数，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.
例1 欧氏空间的内积是上双线性函数.
例2 设都是线性空间上的线性函数，则
是上的一个双线性函数.
例3 设是数域上维列向量构成的线性空间.再设是上级方阵.令
,(1)
则是上的一个双线性函数.
如果设，并设
则
,(2)
（1）或（2）实际上是数域上任意维线性空间上的双线性函数的一般形式.可以如下地说明这一事实.取的一组基.设
,
,
则
,(3)
令
,
则（3）就成为（1）或（2）.
定义4 设是数域上维线性空间上的一个双线性函数,是的一组基，则矩阵
(4)
叫做在下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定的一组基后，每个双线性函数都对应于一个级矩阵，就是这个双线性函数在基下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
反之，任给数域上一个级矩阵
对中任意向量及，其中，用
定义的函数是上一个双线性函数.容易计算出在下的度量矩阵就是.
因此，在给定的基下，上全体双线性函数与上全体级矩阵之间的一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设及是线性空间的两组基：
是中两个向量
,
那么
如果双线性函数在及下的度量矩阵分别为，则有
.
又
.
因此
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义5 设是线性空间上一个双线性函数，如果
对任意，可推出，就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数在基下的度量矩阵为，则对,，有
如果向量满足
,
那么对任意都有
因此
而有非零向量使上式成立的充要条件为是退化的，因此易证双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.
定义6 是线性空间上的一个双线性函数，如果对上任意两个向量都有
,
则称为对称双线性函数.如果对中任意两个向量都有
则称为反对称双线性函数.
设是线性空间上的一个对称双线性函数，对的任一组基，由于
故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数在下的度量矩阵是对称的，那么对中任意两个向量及都有
.
因此是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.
定理5 设是数域上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
如果在下的度量矩阵为对角矩阵，那么对,
有表示式
.
这个表示式也是在下的度量矩阵为对角形的充分条件.
推论1 设是复数上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有
.
推论2 设是实数上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量，有
.
对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.
定义7 设是数域上线性空间，是上双线性函数.当时，上函数称为与对应的二次齐次函数.
给定上一组基，设的度量矩阵为.对中任意向量有
,(5)
式中的系数为.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
及
只要
,
那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.
定理6 设是维线性空间上的反对称双线性函数，则存在的一组基使
(6)
从定理5可知，上的对称双线性函数如果是非退化的则有的一组基满足
前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做的对于的正交基.
而从定理6可知，上的反对称双线性函数如果是非退化的，则有的一组基使
由于非退化的条件，定理6中的不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间，也可以将这些双线性函数看成上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义8 设是数域上的线性空间，在上定义一个非退化线性函数，则称为一个双线性度量空间.当是非退化对称双线性函数时，称为上的正交空间；当是维实线性空间，是非退化对称双线性函数时，称为准欧氏空间；当是非退化反对称双线性函数时，称为辛空间.有着非退化双线性函数的双线性度量空间常记为.
