第七章 线性变换
§1 线性变换的定义一、线性变换的定义线性空间到自身的映射称为的一个变换.
定义1 线性空间的一个变换A称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有
A ()=A ()+A ();
A()=A(),（1）
一般用花体拉丁字母A，B，…表示的线性变换，A ()或A代表元素在变换A下的像.
定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.
例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转角，就是一个线性变换，用?表示.如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是，那么像?()的坐标，即旋转角之后的坐标是按照公式
.
来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.
例2 设是几何空间中一固定非零向量，把每个向量变到它在上的内射影的变换也是一个线性变换，以表示它.用公式表示就是
.
这里表示内积.
例3 线性空间中的恒等变换或称单位变换E，即
E
以及零变换?，即

都是线性变换.
例4 设是数域上的线性空间，是中的某个数，定义的变换如下：
.
这是一个线性变换，称为由数决定的数乘变换，可用K表示.显然当时，便得恒等变换，当时，便得零变换.
例5 在线性空间或者中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即
D（）=.
例6 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以代表.在这个空间中变换
（）=
是一线性变换.
二、线性变换的简单性质：
1,设A是的线性变换，则A (0)=0,A ()=-A ().
2,线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果是的线性组合：
,
那么经过线性变换A之后，A ()是A (),A (),…,A ()同样的线性组合：
A ()=A ()+A ()+…+ A ()
又如果之间有一线性关系式

那么它们的像之间也有同样的关系式
 A ()+A ()+…+ A ()=0.
3,线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.